Стационарная теория возмущений в квантовой механике

Стационарная теория возмущений в квантовой механике — теория возмущений, где гамильтониан не зависит от времени. Теория построена Шрёдингером в 1926 году.

Теория применима для достаточно слабых возмущений: , при этом параметр должен быть настолько маленьким, чтобы возмущение не слишком искажало невозмущённый спектр .

Невырожденный спектр

править

В теории возмущений решение представляется в виде разложений

 
 

Конечно, должно быть верно уравнение Шрёдингера:

 

Подставляя разложение в это уравнение, получим

 
 

Раскроем скобки и получим слева и справа следующие ряды:

 

 

то есть

 

Собирая слагаемые одинакового порядка по  , получим последовательности уравнений:

 
 
 

и т. д. Эти уравнения должны решаться последовательно для получения   и  . Слагаемое с индексом   — это решение для невозмущённого уравнения Шрёдингера, поэтому говорят также о «приближении нулевого порядка». Аналогично говорят о «приближении  -го порядка», если рассчитывают решение до слагаемых   и  .

Из второго уравнения получаем, что можно определять однозначно решения для   только с дополнительными условиями, так как каждая линейная комбинация   и   является решением. Возникает вопрос о нормализации. Мы можем предположить, что  , но в то же время из нормировки точного решения следует  . Тогда в первом порядке (по параметру λ) для условия нормировки нужно положить  . Поскольку выбор фазы в квантовой механике произволен, можно без потери общности сказать, что число   действительно. Поэтому  , и, как следствие, налагаемое дополнительное условие примет вид:

 

Так как невозмущённое состояние   должно быть нормируемо, сразу следует

 

и из этого

 

Получаем поправку в первом порядке

 
 

и для поправки энергии во втором порядке

 

Литература

править

Landau L. D., Lifschitz E. M. Quantum Mechanics: Non-relativistic Theory. — 3rd. — ISBN 0-08-019012-X.