Супераддитивность

Супераддитивность — свойство числовой последовательности $\{a_{n}\}$ ($n\geqslant 1$), при котором каждый элемент $(n+m)$-й элемент не меньше суммы $a_{n}$ и $a_{m}$ для любых $m$ и $n$: $a_{n+m}\geqslant a_{n}+a_{m}$.

Понятие введено в связи с леммой Фекете: для любой супераддитивной последовательности $\{a_{n}\}$ предел $\lim a_{n}/n$ существует и равен супремуму $\sup a_{n}/n$ (предел может быть положительной бесконечностью, например, для последовательности $a_{n}=\log n!$).

Свойство может быть распространено на функции: $f$ супераддитивна, если $f(x+y)\geqslant f(x)+f(y)$ для любых $x$ и $y$ из области определения. Например, $f(x)=x^{2}$ является супераддитивной функцией для неотрицательных действительных чисел, поскольку квадрат $x+y$ всегда больше или равен сумме квадратов $x$ и $y$ для любых неотрицательных действительных чисел $x$ и $y$ .

Полуаддитивность (субаддитивность) — двойственное понятие, результаты о супераддитивных функциях и последовательностях переносятся и на полуаддитивные объекты, в частности, аналог леммы Фекете верен и для полуаддитивных последовательностей. Существуют расширения леммы Фекете, которые не требуют, чтобы определение супераддитивности выполнялось для всех $m$ и $n$. Есть также результаты, которые позволяют вывести скорость сходимости к пределу, существование которого утверждается в лемме Фекете, если присутствует какая-либо супераддитивность или субаддитивность.

Если $f$ — супераддитивная функция и 0 находится в её области определения, то $f(0)\leqslant 0$ (следует из $f(x)\leqslant f(x+y)-f(y)$).

Примеры

Определитель супераддитивен для неотрицательной эрмитовой матрицы, то есть если $A,B\in {\text{Mat}}_{n}(\mathbb {C} )$ — неотрицательные эрмитовы матрицы, то $\det(A+B)\geqslant \det(A)+\det(B)$. Это следует из теоремы Минковского об определителе, которая в общем случае утверждает, что $\det(\cdot )^{1/n}$ является супераддитивной (то есть вогнутой) для неотрицательных эрмитовых матриц размера $n$: если $A,B\in {\text{Mat}}_{n}(\mathbb {C} )$ — неотрицательные эрмитовы матрицы, то $\det(A+B)^{1/n}\geqslant \det(A)^{1/n}+\det(B)^{1/n}$ .

Функция взаимной информации супеаддитивна.

В 2009 году доказано, что гамма-функция Адамара $H(x)$ супераддитивна для всех действительных чисел $x,y\geqslant 1{,}5031$.

Ссылки

• György Polya and Gábor Szegö. Problems and theorems in analysis, volume 1. — Springer-Verlag, New York, 1976. — ISBN 0-387-05672-6.
• Эта статья включает в себя текст с сайта PlanetMath, который опубликован под лицензией Creative Commons Attribution/Share-Alike License.