Супераддитивность

В математике последовательность {an}, n ≥ 1, называется супераддитивной, если она удовлетворяет неравенству

для любых m и n. Основная причина использования супераддитивных последовательностей вытекает из следующей леммы Майкла Фекете[en][1].

Лемма: (Фекете) Для любой супераддитивной последовательности {an}, n≥1, предел lim an /n существует и равен супремуму sup an/n. (Предел может быть положительной бесконечностью, например, для последовательности an=logn!).

Аналогично, функция f супераддитивна, если

для любых x и y из области определения f .

Например, является супераддитивной функцией для неотрицательных действительных чисел, поскольку квадрат всегда больше или равен сумме квадратов и для любых неотрицательных действительных чисел и .

Аналог леммы Фекете верен и для субаддитивных функций. Существуют расширения леммы Фекете, которые не требуют, чтобы определение супераддитивности выполнялось для всех m и n. Есть также результаты, которые позволяют вывести скорость сходимости к пределу, существование которого утверждается в лемме Фекете, если присутствует какая-либо супераддитивность или субаддитивность. Хорошее изложение этой темы можно найти в Steele (1997)[2][3].

Термин «супераддитивный» также применяется к функциям из алгебры логики, где .

Если f — супераддитивная функция и 0 находится в её области определения, то f (0) ≤ 0. Чтобы убедиться в этом, возьмём неравенство: . Следовательно

Примеры супераддитивных функцийПравить

  • Определитель супераддитивен для неотрицательной эрмитовой матрицы, то есть если   — неотрицательные эрмитовы матрицы, то  . Это следует из теоремы о детерминанте[прояснить] Минковского, которая в общем случае утверждает, что   является супераддитивной (то есть вогнутой)[4] для неотрицательных эрмитовых матриц размера n: Если   — неотрицательные эрмитовы матрицы, то   .

См. такжеПравить

ПримечанияПравить

  1. Fekete, M. (1923). “Über die Verteilung der Wurzeln bei gewissen algebraischen Gleichungen mit ganzzahligen Koeffizienten”. Mathematische Zeitschrift. 17 (1): 228—249. DOI:10.1007/BF01504345.
  2. Probability theory and combinatorial optimization. — ISBN 0-89871-380-3.
  3. CBMS Lectures on Probability Theory and Combinatorial Optimization.
  4. M. Marcus, H. Minc (1992). A survey in matrix theory and matrix inequalities. Dover. Theorem 4.1.8, page 115.
  5. Horst Alzer. A superadditive property of Hadamard's gamma function. — Springer, 2009. — doi:10.1007/s12188-008-0009-5.

СсылкиПравить