Теорема Амицура — Левицкого

Теорема Амицура — Левицкого — утверждение о равенстве нулю стандартного многочлена степени $2n$ от произвольных матриц порядка $n$. Установлена и доказана Шимшоном Авицуром (ивр. שמשון עמיצור‎) и Яковом Левицким в 1950 году. Прямое следствие этого результата — матрицы порядка $n$ образуют PI-кольцо с минимальной степенью тождеств, равной $2n$.

Определения и формулировка

Стандартный многочлен степени $n$ — это:

$S_{n}(x_{1},\ldots ,x_{n})=\sum _{\sigma \in S_{n}}(-1)^{\sigma }x_{\sigma 1}\cdots x_{\sigma n}\$,

где сумма берётся по всем $n!$ элементам симметрической группы $S_{n}$. Здесь $(-1)^{\sigma }$ означает знак перестановки $\sigma$, при этом $x_{1},\dots ,x_{n}$ не коммутируют.

Теорема Амицура — Левицкого утверждает, что для произвольных матриц $A_{1},\dots ,A_{2n}$ порядка $n$ стандартный многочлен обращается в нуль:

$S_{2n}(A_{1},\ldots ,A_{2n})=0$.

Доказательства

Амицур и Левицкий дали первое доказательство теоремы в 1950 году.

Костант (англ. Bertram Kostant) в 1958 году вывел теорему Амицура — Левицкого из теоремы Козюля — Самельсона о простых когомологиях алгебр Ли.

Сван (англ. Richard Swan) в 1963 году дал простое комбинаторное доказательство:

Ввиду линейности достаточно доказать теорему для случая, когда каждая матрица имеет только один ненулевой элемент, равный 1. В этом случае каждая матрица может быть представлена как направленная дуга графа с $n$ вершинами. Все матрицы вместе дают граф с $n$ вершинами и $2n$ направленными дугами. Тождество теоремы равносильно утверждению, что для любых двух вершин $A$ и $B$ графа число нечётных эйлеровых путей из $A$ в $B$ равно числу чётных. Сван показал, что при числе рёбер в графе $2n$ и более число чётных и нечётных путей равно, откуда следует результат теоремы.

Размыслов в 1974 году построил доказательство, опирающееся на теорему Гамильтона — Кэли.

Россет в 1976 году дал короткое доказательство, использующее внешнюю алгебру векторного пространства размерности $2n$.

Ссылки

• A. S. Amitsur, Jakob Levitzki. Minimal identities for algebras // Proceedings of the American Mathematical Society. — 1950. — Т. 1. — С. 449—463. — ISSN 0002-9939. — doi:10.1090/S0002-9939-1950-0036751-9. — .
• A. S. Amitsur, Jakob Levitzki. Remarks on Minimal identities for algebras // Proceedings of the American Mathematical Society. — 1951. — Т. 2. — С. 320—327. — ISSN 0002-9939. — .
• Edward Formanek. The polynomial identities and invariants of n×n matrices. — Providence, RI: American Mathematical Society, 1991. — Т. 78. — ISBN 0-8218-0730-7.
• Bertram Kostant. A theorem of Frobenius, a theorem of Amitsur–Levitski and cohomology theory // J. Math. Mech. — 1958. — Т. 7. — С. 237—264. — doi:10.1512/iumj.1958.7.07019.
• Ю. П. Размыслов. Тождества со следом полных матричных алгебр над полем характеристики нуль // Известия АН СССР. Серия математическая. — 1974. — Т. 38. — С. 727. — ISSN 0373-2436. — doi:10.1070/IM1974v008n04ABEH002126.
• Shmuel Rosset. A new proof of the Amitsur–Levitski identity // Israel Journal of Mathematics. — 1976. — Т. 23. — С. 187—188. — ISSN 0021-2172. — doi:10.1007/BF02756797.
• Richard G. Swan. An application of graph theory to algebra // Proceedings of the American Mathematical Society. — 1963. — Т. 14. — С. 367—373. — .
• Richard G. Swan. Correction to “An application of graph theory to algebra” // Proceedings of the American Mathematical Society. — 1969. — Т. 21. — С. 379—380. — ISSN 0002-9939. — doi:10.2307/2037008.