Теорема Вайнберга о связи полей с частицами

Теорема Вайнберга о связи полей с частицами — утверждение о связи между видом фурье-образов квантованных полей и операторами рождения и уничтожения частиц положительной массы. Доказана С. Вайнбергом в 1964 году . Следствием этой теоремы являются зависимость типов полей от спина их квантов. При добавлении условия неприводимости поля по отношению к группе Пуанкаре можно получить уравнение Дирака для электрона, Вейля для нейтрино, Максвелла для фотона.

Формулировка

Для частиц положительной массы фурье-образы квантованных полей связаны с операторами рождения и уничтожения частиц линейными соотношениями:

$\alpha _{\sigma }(p)=\sum _{\tau =-j}^{j}X_{\sigma \tau }(p)a_{\tau }(p),$

$\beta _{\sigma }^{+}(p)=\sum _{\tau =-j}^{j}Y_{\sigma \tau }(p)b_{\tau }^{+}(p).$

Пояснения

Оператор $a_{\sigma }(p)^{+}$ является оператором рождения новой частицы с импульсом $p$ и состоянием поляризации $\sigma$. Оператор $a_{\sigma }(p)$ является оператором уничтожения существующей частицы с импульсом $p$ и состоянием поляризации $\sigma$. Оператор $b_{\sigma }(p)^{+}$ является оператором рождения новой античастицы с импульсом $p$ и состоянием поляризации $\sigma$. Оператор $b_{\sigma }(p)$ является оператором уничтожения существующей античастицы с импульсом $p$ и состоянием поляризации $\sigma$. Состояние поляризации $\sigma$ может принимать значения $\sigma =-j,-j+1,..,j-1,j$, где $j$ — спин квантов поля. Эти операторы удовлетворяют перестановочным соотношениям:

$[a_{\sigma }(p),a_{\tau }^{+}(p)]_{\pm }=\delta _{\sigma \tau }\delta (p-p'),$

$[b_{\sigma }(p),b_{\tau }^{+}(p)]_{\pm }=\delta _{\sigma \tau }\delta (p-p').$

Выражения $\alpha _{\sigma }(p)$ и $\beta _{\sigma }^{+}(p)$ обозначают фурье-образы квантованного поля $\psi _{\sigma }(x)$, из формулы

$\psi _{\sigma }(x)={(2\pi )}^{-{\frac {3}{2}}}\int \left\{\alpha _{\sigma }(p)e^{-i(px)}+\beta _{\sigma }^{+}e^{i(px)}\right\}\delta (p^{2}-m^{2})\theta (p^{0})dp,$

где $(px)=p^{0}x^{0}-p^{1}x^{1}-p^{2}x^{2}-p^{3}x^{3}$, функция $\theta (p^{0})$ равна единице при $p^{0}>0$ и нулю при $p^{0}<0$. Выражения $X_{\sigma \tau }(p)$ и $Y_{\sigma \tau }(p)$ обозначают коэффициенты, однозначно вычисляемые при помощи использования свойств преобразований квантованных полей относительно группы Лоренца.

Следствия

С использованием сформулированной выше теоремы Вайнберга о связи полей с частицами может быть доказана, как следствие, Теорема Паули.

Литература

• Румер Ю. Б., Фет А. И. Теория групп и квантованные поля. — М.: Либроком, 2010. — 248 с. — ISBN 978-5-397-01392-5.