Будем предполагать, что
ξ
1
,
ξ
2
.
.
.
{\displaystyle \xi _{1},\xi _{2}...}
последовательность независимых случайных величин,
S
n
=
ξ
1
+
ξ
2
+
.
.
.
+
ξ
n
{\displaystyle S_{n}=\xi _{1}+\xi _{2}+...+\xi _{n}}
и
A
{\displaystyle A}
— множество тех элементарных исходов
ω
{\displaystyle \omega }
, где ряд
∑
ξ
n
(
ω
)
{\displaystyle \sum \xi _{n}(\omega )}
сходится к конечному пределу.
Пусть
M
ξ
n
=
0
,
n
⩾
1
{\displaystyle M\xi _{n}=0,n\geqslant 1}
. Тогда, если
∑
M
ξ
n
2
<
∞
{\displaystyle \sum M\xi _{n}^{2}<\infty }
, то ряд
∑
ξ
n
{\displaystyle \sum \xi _{n}}
сходится с вероятностью единица.
Если к тому же случайные величины
ξ
n
,
n
⩾
1
{\displaystyle \xi _{n},n\geqslant 1}
равномерно ограничены:
P
(
|
ξ
n
|
⩽
c
)
=
1
,
c
<
∞
{\displaystyle P(|\xi _{n}|\leqslant c)=1,c<\infty }
, то верно и обратное: из сходимости с вероятностью единица ряда
∑
ξ
n
{\displaystyle \sum \xi _{n}}
следует первая часть.
Последовательность
(
S
n
)
,
n
⩾
1
{\displaystyle (S_{n}),n\geqslant 1}
, сходится с вероятностью единица тогда и только тогда, когда эта последовательность фундаментальна с вероятностью единица[ 1] , то есть
P
{
sup
k
⩾
1
|
S
n
+
k
−
S
n
|
⩾
ε
}
→
0
,
n
→
∞
{\displaystyle P\{\sup _{k\geqslant 1}|S_{n+k}-S_{n}|\geqslant \varepsilon \}\rightarrow 0,n\rightarrow \infty }
(1)
В силу неравенства Колмогорова :
P
{
sup
k
⩾
1
|
S
n
+
k
−
S
n
|
⩾
ε
}
=
lim
n
→
∞
P
{
max
1
⩽
k
⩽
N
|
S
n
+
k
−
S
n
|
⩾
ε
}
⩽
lim
N
→
∞
∑
k
=
n
n
+
N
M
ξ
k
2
ε
2
=
∑
k
=
n
∞
M
ξ
k
2
ε
2
{\displaystyle P\{\sup _{k\geqslant 1}|S_{n+k}-S_{n}|\geqslant \varepsilon \}=\lim _{n\rightarrow \infty }P\{\max _{1\leqslant k\leqslant N}|S_{n+k}-S_{n}|\geqslant \varepsilon \}\leqslant \lim _{N\rightarrow \infty }{\frac {\sum _{k=n}^{n+N}M\xi _{k}^{2}}{\varepsilon ^{2}}}={\frac {\sum _{k=n}^{\infty }M\xi _{k}^{2}}{\varepsilon ^{2}}}}
Поэтому, если
∑
k
=
1
∞
M
ξ
k
2
<
∞
{\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }M\xi _{k}^{2}<\infty }
, то выполнено условие 1 , следовательно, ряд
∑
ξ
k
{\displaystyle \sum \xi _{k}}
сходится с вероятностью единица.
Пусть ряд
∑
ξ
k
{\displaystyle \sum \xi _{k}}
сходится. Тогда в силу условия 1 для достаточно больших
n
{\displaystyle n}
:
P
{
sup
k
⩾
1
|
S
n
+
k
−
S
n
|
⩾
ε
}
<
1
2
{\displaystyle P\{\sup _{k\geqslant 1}|S_{n+k}-S_{n}|\geqslant \varepsilon \}<{\frac {1}{2}}}
(2)
В силу неравенства Колмогорова
P
{
sup
k
⩾
1
|
S
n
+
k
−
S
n
|
⩾
ε
}
⩾
1
−
(
c
+
ε
)
2
∑
k
=
n
∞
M
ξ
k
2
{\displaystyle P\{\sup _{k\geqslant 1}|S_{n+k}-S_{n}|\geqslant \varepsilon \}\geqslant 1-{\frac {(c+\varepsilon )^{2}}{\sum _{k=n}^{\infty }M\xi _{k}^{2}}}}
.
Поэтому, если допустить, что
∑
k
=
1
∞
M
ξ
k
2
=
∞
{\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }M\xi _{k}^{2}=\infty }
, то получим
P
{
sup
k
⩾
1
|
S
n
+
k
−
S
n
|
⩾
ε
}
=
1
{\displaystyle P\{\sup _{k\geqslant 1}|S_{n+k}-S_{n}|\geqslant \varepsilon \}=1}
, что противоречит неравенству 2
{\displaystyle }
.
Ширяев А. Н. Вероятность. — 3-е изд., перераб. и доп.. — М. : МЦНМО , 2004. (Глава 4 § 2 раздел 1)