Остаточно конечная группа

Остаточно конечная или финитно аппроксимируемая группа — группа $G$ такая, что для любого элемента $g\neq 1$ найдётся гомоморфизм $h\colon G\to F$ в конечную группу $F$, удовлетворяющий условию $h(g)\neq 1$.

Примеры

• Любая конечная группа остаточно конечна;
• Любая свободная группа остаточно конечна;
• Любая конечно порождённая нильпотентная группа остаточно конечна;
• Фундаментальная группа 3-мерного многообразия остаточно конечна;
• Группа Баумслага — Солитера $BS(m,n)$ остаточно конечна тогда и только тогда когда $|m|=1$, $|n|=1$, или $|m|=|n|$.

Свойства

• Теорема Мальцева. Всякая конечно порождённая подгруппа общей линейной группы является остаточно конечной.
• Подгруппа остаточно конечной группы является остаточно конечной.
• Прямое произведение остаточно конечных групп является остаточно конечным.
• Обратный предел остаточно конечных групп является остаточно конечным.
  • В частности, проконечные группы являются остаточно конечными.
• Любая конечно порожденная остаточно конечная группа является хопфовой, то есть не имеет собственных факторгрупп, изоморфных ей самой.