Проективный предел

(перенаправлено с «Обратный предел»)

Проективный предел (обратный предел) — используемая в различных разделах математики конструкция, которая позволяет построить новый объект по семейству (индексированному направленным множеством) однотипных объектов и набору отображений , . Один из видов пределов в теории категорий.

Для проективного предела обычно используются следующие обозначения:

,
.

Проективный предел можно определить в произвольной категории. Двойственное понятие — прямой предел.

ИсторияПравить

Проективные пределы появляются в работах Александрова. [1]

ОпределениеПравить

Алгебраические структурыПравить

Для алгебраических систем проективный предел определяется следующим образом. Пусть   — направленное множество   (например, множество целых чисел), и пусть каждому элементу   сопоставлена алгебраическая система   из какого-либо фиксированного класса (например, абелевых групп, модулей над заданным кольцом), а каждой паре  , такой что  ,  , сопоставлен гомоморфизм  , причём   — тождественные отображения для любого   и   для любых   из  . Тогда множество-носитель проективного предела направленного семейства — это фактормножество   прямого произведения   по транзитивному замыканию отношения эквивалентности, говорящего, что каждый элемент эквивалентен «меньшим» элементам:

 .

Существуют канонические проекции  , выбирающие  -ю компоненту прямого произведения для каждого  . Эти проекции должны являться гомоморфизмами, исходя из этого можно восстановить добавленную алгебраическую структуру на проективном пределе.

Общий случайПравить

В произвольной категории проективный предел можно описать при помощи его универсального свойства. Пусть   — семейство объектов и морфизмов категории C, удовлетворяющее тем же требованиям, что и в предыдущем пункте. Тогда   называется проективным пределом системы  , или  , если выполнены следующие условия:

  1. существует такое семейство отображений  , что   для любых  ;
  2. для любого семейства отображений  , произвольного объекта  , для которого выполнены равенства   для любых  , существует единственное отображение  , что  , для всех  .

Более общо, проективный предел — это предел в категорном смысле системы  .

ПримерыПравить

  • Целые  -адические числа являются проективным пределом последовательности   с естественными отображениями вида «взятие остатка»   при  .
  • Кольцо   формальных степенных рядов над коммутативным кольцом   — проективный предел колец  , индексированных натуральными числами, с естественными проекциями  .
  • Канторово множество гомеоморфно проективному пределу произведений двуточечных множеств (с дискретной топологией) с проекциями на первые несколько координат в качестве отображений.
  • Проконечные группы определяются как проективные пределы конечных (дискретных) групп.
  • В категории топологических пространств проективные пределы задаются инициальной топологией[en] на соответствующем множестве-носителе.

ПримечанияПравить

  1. Александров П. С., «Аnn. of Math. », 1928, v. 30, p. 101-87.

ЛитератураПравить

  • Маклейн С. Глава 3. Универсальные конструкции и пределы // Категории для работающего математика = Categories for the working mathematician / Пер. с англ. под ред. В. А. Артамонова. — М.: Физматлит, 2004. — С. 68—94. — 352 с. — ISBN 5-9221-0400-4.