Индуктивный предел

(перенаправлено с «Прямой предел»)

Индуктивный предел (или прямой предел, копредел) — конструкция, возникшая первоначально в теории множеств и топологии, а затем нашедшая широкое применение во многих разделах математики. Двойственное понятие — проективный (или обратный) предел.

Эта конструкция позволяет построить новый объект по последовательности (индексированной направленным множеством) однотипных объектов и набору отображений , . Для индуктивного предела обычно используется обозначение

.

Мы дадим определение для алгебраических структур, а затем — для объектов произвольной категории.

ОпределениеПравить

Алгебраические объектыПравить

В этом разделе будет дано определение, подходящее для множеств с добавленной структурой, таких как группы, кольца, модули над фиксированным кольцом и т. д.

Пусть   — направленное множество с отношением предпорядка   и пусть каждому элементу   сопоставлен алгебраический объект  , а каждой паре  ,  , в которой  , сопоставлен гомоморфизм  , причём   — тождественные отображения для любого   и   для любых   из  . Такую систему объектов и гомоморфизмов называют также направленной системой.

Тогда множество-носитель прямого предела направленной системы   — это фактормножество дизъюнктного объединения множеств-носителей   по отношению эквивалентности:

 

Здесь   и   эквивалентны, если существует такое  , что  . Интуитивно, два элемента дизъюнктного объединения эквивалентны, тогда и только тогда, когда они «рано или поздно станут эквивалентными» в направленной системе. Более простая формулировка — это транзитивное замыкание отношения эквивалентности «каждый элемент эквивалентен своим образам», то есть  .

Из этого определения легко получить канонические морфизмы  , отправляющие каждый элемент в его класс эквивалентности. Добавленную алгебраическую структуру на   можно получить, исходя из знания этих гомоморфизмов.

Определение для произвольной категорииПравить

В произвольной категории прямой предел можно определить с помощью его универсального свойства. А именно, прямой предел направленной системы   — это объект   категории, такой что выполняются следующие условия:

  1. существует такое семейство отображений  , что   для любых  ;
  2. для любого семейства отображений  , в произвольное множества  , для которого выполнены равенства   для любых  , существует единственное отображение  , что  , для всех  .

Более общо, прямой предел направленной системы — это то же самое, что её копредел в категорном смысле.

ПримерыПравить

  • На произвольном семействе подмножеств данного множества можно задать структуру предпорядка по включению. Если этот предпорядок действительно является направленным, то прямой предел семейства — это обычное объединение множеств.
  • Пусть p — простое число. Рассмотрим направленную систему из групп Z/pnZ и гомоморфизмов Z/pnZZ/pn+1Z, индуцированных умножением на p. Прямой предел этой системы содержит все корни из единицы, порядок которых — некоторая степень p. Их группа по умножению называется группой Прюфера Z(p).
  • Пусть F — пучок на топологическом пространстве X со значениями в C. Зафиксируем точку x в X. Открытые окрестности x образуют направленную систему по включению (UV если U содержит V). Функтор пучка сопоставляет ей направленную систему (F(U), rU,V), где r — отображения ограничения. Прямой предел этой системы называется слоем F над x и обозначается Fx.
  • Прямые пределы в категории топологических пространств получаются присвоением финальной топологии[en] соответствующему множеству-носителю.

ЛитератураПравить