Теорема Мергеляна

Теорема Мергеляна — утверждение о возможности равномерного приближения многочленами функций комплексной переменной; установлено доказано советским математиком Сергеем Мергеляном в 1951 году.

Согласно теореме, всякую непрерывную функцию $f\colon K\to \mathbb {C}$ на компакте $K$ со связным дополнением до комплексной плоскости (то есть $\mathbb {C} \setminus K$ — связно), голоморфную на внутренних точках $K$, возможно равномерно аппроксимировать многочленами.

Теорема является развитием и обобщением теорем Вейерштрасса и Рунге, и широко применяется в различных направлениях комплексного анализа; этот результат увенчал большой цикл работ по теории приближения в комплексном случае. В частности, Лаврентьев в 1936 году доказал утверждение для случая, когда $K$ не имеет внутренних точек, а в 1945 году Келдыш установил результат для случая, когда $K$ является замкнутой областью со связным дополнением.

Метод доказательства, применённый Мергеляном, конструктивен, и остаётся единственным известным конструктивным доказательством результата.

Литература

• Мергеляна теорема — статья из Математической энциклопедии. Е. М. Чирка
• С. Н. Мергелян. Равномерные приближения функций комплексного переменного // УМН. — Т. 7, № 2 (48). — С. 31—122.
• Lennart Carleson. Mergelyan’s theorem on uniform polynomial approximation (англ.) // Math. Scand. — 1964. — Vol. 15.
• Dieter Gaier. Lectures on Complex Approximation. — Boston: Birkhäuser, 1987. — ISBN 0-8176-3147-X.
• W. Rudin. Real and Complex Analysis. — N. Y.: McGraw-Hill, 1974. — ISBN 0-07-054234-1.
• А. Г. Витушкин. Аналитическая ёмкость множеств в задачах теории приближений // УМН. — 1967. — Т. 22, № 6 (138).
• А. Г. Витушкин. Полвека как один день // УМН. — 2002. — Т. 57, № 1 (353).