Открыть главное меню

Теорема Мергеляна

Теорема Мергеляна — теорема о возможности равномерной аппроксимации функций комплексного переменного, является известным результатом комплексного анализа, доказанного армянским математиком Сергеем Никитовичем Мергеляном в 1951 году. В нем говорится следующее: Пусть K — Компактное пространство со связанным дополнением на комплексной плоскости C (то есть, CK — связно). Тогда всякую непрерывную функцию f : K C, такую, что сужение f на int(K) голоморфно на его внутренных точках, можно равномерно аппроксимировать на K полиномами. Здесь int(K) означает внутренность K.

Эта теорема завершила большой цикл исследований по теории приближений в комплексной плоскости и имеет много применений в различных разделах комплексного анализа. Теорема Мергеляна это окончательное развитие и обобщение теорем Вейерштрасса и Рунге. Она дает полное решение классической задачи аппроксимации полиномами.

Задача приближения многочленами является частным случаем задачи о приближения рациональными функциями с полюсами вне K. Мергелян также доказал несколько достаточных условий рациональной аппроксимации.

Теоремы Вейерштрасса и Рунге были выдвинуты в 1885 году, а теорема Мергеляна — с 1951 года. Этот большой промежуток обусловлен сложностью проблемы и тем, что доказательство теоремы Мергеляна основано на новом мощном методе, созданном самим Мергеляном. После Вейерштрасса и Рунге многие математики (в частности Уолш, Келдыш и Лаврентьев) работали над одной и той же проблемой. Метод доказательства, предложенный Мергеляном, конструктивен и остается единственным известным конструктивным доказательством результата.

См. такжеПравить

СсылкиПравить

  • Lennart Carleson, Mergelyan’s theorem on uniform polynomial approximation, Math. Scand., V. 15, (1964) 167—175.
  • Dieter Gaier, Lectures on Complex Approximation, Birkhäuser Boston, Inc. (1987), ISBN 0-8176-3147-X.
  • W. Rudin, Real and Complex Analysis, McGraw-Hill Book Co., New York, (1987), ISBN 0-07-054234-1.
  • A. G. Vitushkin, Half a century as one day, Mathematical events of the twentieth century, 449—473, Springer, Berlin, (2006), ISBN 3-540-23235-4/hbk.

СсылкиПравить