Теорема Париса — Харрингтона

Теорема Па́риса — Ха́ррингтона (или Пэ́риса — Ха́ррингтона) — теорема в математической логике, ставшая первым в истории математики естественным и относительно несложным примером утверждения о натуральных числах, которое истинно, но недоказуемо в аксиоматике Пеано. Существование недоказуемых теорем арифметики прямо вытекает из первой теоремы Гёделя о неполноте (1930 год). Кроме того, вторая теорема Гёделя, (опубликованная вместе с первой), даёт конкретный пример такого утверждения: а именно утверждение о непротиворечивости арифметики. Однако долгое время не было известно «естественных» примеров таких утверждений, то есть таких утверждений, которые бы возникали не из утверждений о некоторой логике, а были бы естественными математическими утверждениями о числах.

Данная теорема и её доказательство были опубликованы в 1977 году Джеффри Парисом (Великобритания) и Лео Харрингтоном (США).

Усиленная теорема РамсеяПравить

Результат Париса—Харрингтона опирается на несколько модифицированную комбинаторную теорему Рамсея[1]:

Для любых натуральных чисел   можно указать натуральное   со следующим свойством: если мы окрасим каждое из  -элементных подмножеств   в один из   цветов, то в   существует подмножество   содержащее не менее   элементов таких, что все  -элементные подмножества   имеют один и тот же цвет, а количество элементов   не меньше, чем наименьший элемент  

Без условия «количество элементов   не меньше, чем наименьший элемент  » это утверждение вытекает из конечной теоремы Рамсея. Отметим, что усиленный вариант теоремы Рамсея может быть записан на языке логики первого порядка[2].

ФормулировкаПравить

Теорема Париса-Харрингтона утверждает:

Сформулированная выше усиленная теорема Рамсея не доказуема в аксиоматике Пеано.

В своей статье Парис и Харрингтон показали, что из этой теоремы вытекает непротиворечивость аксиоматики Пеано; однако, как показал Гёдель, арифметика Пеано не в состоянии доказать свою собственную непротиворечивость, поэтому теорема Париса-Харрингтона в ней недоказуема. С другой стороны, используя логику второго порядка или аксиоматику теории множеств ZF, несложно доказать, что усиленная теорема Рамсея истинна[2].

Другие примеры недоказуемых теорем арифметикиПравить

ПримечанияПравить

ЛитератураПравить

СсылкиПравить