Теорема Харди — Рамануджана

В математике теорема Харди — Рамануджана[1] утверждает, что скорость роста числа различных простых делителей числа определяется функцией повторного логарифма — , а «разброс» числа делителей — квадратным корнем этой функции.

ТеоремаПравить

Пусть действительная функция   такова, что  , и пусть   — число натуральных чисел  , для которых выполнено следующее неравенство

 

или более традиционно

  , где  

Тогда

 

Простое доказательство этой теоремы нашел Пал Туран.

Обобщения и усиленияПравить

Такой же результат верен и для числа всех простых сомножителей в разложении числа  .

Эта теорема обобщается теоремой Эрдёша — Каца, в которой доказывается, что распределение различных простых делителей натуральных чисел является нормальным со «средним» и «дисперсией» равными  . Таким образом, имеется некоторая связь между распределением числа простых делителей и предельными законами теории вероятностей — центральной предельной теоремой и законом повторного логарифма.

ПримечанияПравить