Теорема монотонности Александрова

Теорема монотонности Александрова — теорема о выпуклых многогранниках, доказанная А. Д. Александровым в 1937 году,,.

Формулировки

Прямая

Если между гранями двух замкнутых выпуклых многогранников в трёхмерном евклидовом пространстве установлено взаимно-однозначное соответствие так, что (i) единичные нормали к соответствующим граням совпадают и (ii) ни одну из граней нельзя поместить внутри соответствующей ей грани параллельным переносом, то многогранники получаются один из другого параллельным переносом (и, в частности, они конгруэнтны).

Через монотонные функции

Функция $f(Q)$ называется монотонной функцией многоугольника $Q$, если она обладает свойством: $f(Q_{1})>f(Q_{2})$, если $Q_{2}$ можно поместить внутри $Q_{1}$.

Пусть $P_{1}$ и $P_{2}$ — замкнутые выпуклые многогранники в трёхмерном евклидовом пространстве с гранями $Q_{1}^{1},\dots ,Q_{1}^{n}$ и $Q_{2}^{1},\dots ,Q_{2}^{n}$ соответственно, причём для любого $k=1,\dots ,n$ выполнены условия: (i) единичные нормали к граням $Q_{1}^{k}$ и $Q_{2}^{k}$ совпадают и (ii) существует монотонная функция $f_{k}$ такая, что $f_{k}(Q_{1}^{k})=f_{k}(Q_{2}^{k})$. Тогда многогранники $P_{1}$ и $P_{2}$ получаются один из другого параллельным переносом (и, в частности, они конгруэнтны).

Замечания

• Для трёхмерного пространства теорема Александрова о выпуклых многогранниках обобщает теорему единственности Минковского, утверждающую, что «два равных многогранника с попарно параллельными и равновеликими гранями равны и параллельно расположены». В самом деле, в качестве монотонной функции многоугольника $f(Q)$ здесь достаточно взять площадь.
• Утверждение, получающееся из теоремы Александрова о выпуклых многогранниках, если в ней в качестве монотонной функции многоугольника $f(Q)$ взять периметр, интересно в тем, что уже более 70 лет геометры не могут найти соответствующей теоремы существования.
• В евклидовом пространстве размерности 2 утверждение, аналогичное теореме Александрова о выпуклых многогранниках, верно, но тривиально.
• В евклидовом пространстве размерности 4 (и во всех более высоких размерностях) утверждение, аналогичное теореме Александрова о выпуклых многогранниках, неверно. В качестве контрпримера можно взять четырёхмерный куб с ребром 2 и четырёхмерный прямоугольный параллелепипед с рёбрами 1, 1, 3, 3.
• О равенстве многомерных выпуклых многогранников при невмещаемости их параллельных двумерных граней, см .

См. также

• Теорема Александрова о развёртке многогранника