Первая теорема о среднем

Первая теорема о среднем значении — одна из теорем об определённом интеграле.

Формулировка

Пусть функция $f(x)$ интегрируема на отрезке $[a;b]$, и ограничена на нём числами $m$ и $M$ так, что $m\leq f(x)\leq M$. Тогда существует такое число $\mu$, $m\leq \mu \leq M$, что

$\int \limits _{a}^{b}f(x)dx=\mu (b-a)$.

Доказательство

Из неравенства $m\leq f(x)\leq M$ по свойству монотонности интеграла имеем

$m(b-a)\leq \int \limits _{a}^{b}f(x)dx\leq M(b-a)$.

Обозначив $\mu ={\frac {1}{b-a}}\int _{a}^{b}f(x)dx$, получим требуемое утверждение. Так определённое число $\mu$ называют средним значением функции $f(x)$ на отрезке $[a;b]$, откуда и название теоремы.

Замечание

Если функция $f(x)$ непрерывна на $[a;b]$, то в качестве $m$ и $M$ можно взять её наибольшее и наименьшее значения (которые, по теореме Вейерштрасса, достигаются), тогда по теореме о промежуточном значении существует такая точка $c\in [a;b]$, что $f(c)=\mu$, поэтому утверждение теоремы можно переписать в виде

$\int \limits _{a}^{b}f(x)dx=f(c)(b-a)$.

Если воспользоваться формулой Ньютона-Лейбница, то это равенство запишется как

$F(b)-F(a)=F'(c)\;(b-a)$,

где $F(x)$ — первообразная функции $f(x)$, что есть не что иное, как формула Лагранжа для функции $F(x)$.

Обобщение

Пусть функции $f(x)$ и $g(x)$ интегрируемы на отрезке $[a;b]$, причём по-прежнему $m\leq f(x)\leq M$, а вторая из них не меняет знак (то есть либо всюду неотрицательна: $g(x)\geq 0$, либо всюду неположительна $g(x)\leq 0$). Тогда существует такое число $\mu$, $m\leq \mu \leq M$, что

$\int \limits _{a}^{b}f(x)g(x)dx=\mu \int \limits _{a}^{b}g(x)dx$.

Доказательство

Пусть $g(x)$ неотрицательна, тогда имеем

$mg(x)\leq f(x)g(x)\leq Mg(x)$,

откуда, ввиду монотонности интеграла

$m\int \limits _{a}^{b}g(x)dx\leq \int \limits _{a}^{b}f(x)g(x)dx\leq M\int \limits _{a}^{b}g(x)dx$.

Если $\int _{a}^{b}g(x)dx=0$, то из этого неравенства следует, что $\int _{a}^{b}f(x)g(x)dx=0$, и утверждение теоремы выполняется при любом $\mu$. В противном случае положим

$\mu ={\frac {\int \limits _{a}^{b}f(x)g(x)dx}{\int \limits _{a}^{b}g(x)dx}}$.

Обобщение доказано. Если функция $f(x)$ непрерывна, можно утверждать, что существует точка $c\in [a;b]$ такая, что

$\int \limits _{a}^{b}f(x)g(x)dx=f(c)\int \limits _{a}^{b}g(x)dx$

(аналогично предыдущему).

Литература

• Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. — М.: Наука, 1969. — Т. II.
• Зорич В. А. Математический анализ. Ч. I. — М.: Наука, 1981.