Технологическое множество

Технологическое множество — понятие, используемое в микроэкономике, формализующее множество всех технологически допустимых векторов чистых выпусков продукции.

Определение

Пусть в экономике имеется $N$ благ. В процессе производства из них $n$ благ расходуются. Обозначим вектор этих благ (затрат) $x$ (размерность вектора $n$). Другие $m=N-n$ благ выпускаются в процессе производства (размерность вектора — $m$). Обозначим вектор этих благ $y$. Тогда вектор $z=(-x,y)$ (размерность — $N$) называется вектором чистых выпусков. Совокупность всех технологически допустимых векторов чистых выпусков и составляют технологическое множество. Фактически это некоторое подмножество пространства $R^{N}$.

Свойства

• Непустота: технологическое множество не пусто. Непустота означает принципиальную возможность производства.
• Допустимость бездеятельности: нулевой вектор принадлежит технологическому множеству. Это формальное свойство означает, что нулевой выпуск при нулевых затратах является допустимым.
• Замкнутость: технологическое множество содержит свою границу и предел любой последовательности технологически допустимых векторов чистых выпусков тоже принадлежит технологическому множеству.
• Свобода расходования: если данный вектор $z$ принадлежит технологическому множеству, то ему принадлежит и любой вектор $z'\leqslant z$. Это означает, что формально тот же объем выпуска можно производить и большими затратами.
• Отсутствие «рога изобилия»: из неотрицательных векторов чистого выпуска технологическому множеству принадлежит только нулевой вектор. Это означает, что для производства продукции в положительном количестве необходимы ненулевые затраты.
• Необратимость: для любого допустимого вектора $z$, противоположный вектор $-z$ не принадлежит технологическому множеству. То есть из выпущенной продукции невозможно произвести ресурсы в том же количестве, в котором они используются для производства этой продукции.
• Аддитивность : сумма двух допустимых векторов также является допустимым вектором. То есть допускается комбинирование технологий.
• Свойства, связанные с отдачей от масштаба производства:
  • Невозрастающая отдача от масштаба: для любого $\lambda \in (0;1)$ если z принадлежит технологическому множеству, то $\lambda z$ также принадлежит технологическому множеству.
  • Неубывающая отдача от масштаба: для любого $\lambda >1$ если z принадлежит технологическому множеству, то $\lambda z$ также принадлежит технологическому множеству.
  • Постоянная отдача от масштаба: одновременное выполнение двух предыдущих свойств, то есть для любого положительного $\lambda$ если $z$ принадлежит технологическому множеству, то $\lambda z$ также принадлежит технологическому множеству. Свойство постоянной отдачи означает, что технологическое множество является конусом.

8. Выпуклость: для любых двух допустимых векторов $z_{1},z_{2}$ допустимыми являются также любые векторы $\alpha z_{1}+(1-\alpha )z_{2}$, где $0<\alpha \leqslant 1$. Свойство выпуклости означает возможность «смешивать» технологии. Оно, в частности, выполнено, если технологическое множество обладает свойством аддитивности и невозрастающей отдачи от масштаба. Более того, в этому случае технологическое множество является выпуклым конусом.

Эффективная граница технологического множества

Допустимую технологию $z$ называют эффективной, если не существует другой, отличной от неё, допустимой технологии $z'\geqslant z$. Множество эффективных технологий образуют эффективную границу технологического множества.

Если выполнено условие свободы расходования и замкнутости технологического множества, то невозможно бесконечно увеличивать производство одного блага без уменьшения выпуска других. В этом случае для любой допустимой технологии $z$ есть эффективная технология $z'\geqslant z$. В таком случае, вместо всего технологического множества можно использовать только его эффективную границу. Обычно эффективную границу можно задать некоторой производственной функцией.

Производственная функция

Рассмотрим однопродуктовые технологии $(-x,y)$, где $y$ — вектор размерности $m=1$, а $x$ — вектор затрат размерности $n$. Рассмотрим множество $X$, включающее в себя все возможные векторы затрат $x$, таких, что для каждого $x$ существует $y$, такой что векторы чистых выпусков $(-x,y)$ принадлежат к технологическому множеству.

Числовая функция $f(x)$ на $X$ называется производственной функцией, если для каждого данного вектора затрат $x$ значение $f(x)$ определяет максимальное значение допустимого выпуска $y$ (такого, что вектор чистого выпуска (-x, y) принадлежит технологическому множеству).

Любая точка эффективной границы технологического множества представима в виде $(-x,f(x))$, а обратное верно в том случае, если $f(x)$ является возрастающей функцией (в таком случае $y=f(x)$ — уравнение эффективной границы). Если технологическое множество обладает свойством свободы расходования и допускает описание производственной функцией, то технологическое множество определяется на основе неравенства $y\leqslant f(x)$.

Для того, чтобы технологическое множество можно было бы задавать с помощью производственной функции достаточно, чтобы для любого $x$ множество $F(x)$ допустимых выпусков при данных затратах $x$, являлось ограниченным и замкнутым. В частности, это условие выполнено, если для технологического множества выполнены свойства замкнутости, невозрастающей отдачи от масштаба и отсутствия рога изобилия.

Если технологическое множество выпукло, то производственная функция вогнута и непрерывна на внутренности множества $X$. Если выполнено условие свободы расходования, то $f(x)$ является неубывающей функцией (в этом случае также из вогнутости функции следует выпуклость технологического множества). Наконец, если выполнены одновременно и условие отсутствия рога изобилия и допустимость бездеятельности, то $f(0)=0$.

Если производственная функция является дифференцируемой, то можно определить локальную эластичность масштаба следующими эквивалентными способами:

$e(x)={\frac {df(\lambda x)}{d\lambda }}\cdot {\frac {\lambda }{f(x)}}|_{\lambda =1}={\frac {f'(x)x}{f(x)}}$

где $f'(x)$ — вектор-градиент производственной функции.

Определив таким образом эластичность масштаба можно показать, что если технологическое множество обладает свойством постоянной отдачи от масштаба, то $e(x)=1$, если убывающей отдачи от масштаба, то $e(x)\leqslant 1$, если возрастающей отдачи, то $e(x)\geqslant 1$.

Задача производителя

Основная статья: Задача фирмы

Если задан вектор цен $p$, то произведение $pz$ представляет собой прибыль производителя. Задача производителя сводится к поиску такого вектора $z$, чтобы при заданном векторе цен прибыль была максимальна. Множество цен благ, при которых эта задача имеет решение, обозначим $P$. Можно показать, что при непустом, замкнутом технологическом множестве с невозрастающей отдачей от масштаба задача производителя имеет решение на множестве цен $P$, дающих отрицательную прибыль на так называемых рецессивных направлениях (это векторы $z$ технологического множества, для которых при любом неотрицательном $\lambda$ векторы $\lambda z$ также принадлежат технологическому множеству). В частности, если множество рецессивных направлений совпадает с $R_{-}^{N}$, то решение существует при любых положительных ценах.

Функция прибыли $\pi (p)$ определяется как $pz(p)$, где $z(p)$ — решение задачи производителя при данных ценах (это так называемая функция предложения, возможно многозначная). Функция прибыли является положительно однородной (первой степени), то есть $\pi (\lambda p)=\lambda \pi (p)$ и непрерывной на внутренности $P$. Если технологическое множество строго выпукло, то функция прибыли является к тому же непрерывно дифференцируемой. Если технологическое множество замкнуто, то функция прибыли выпукла на любом выпуклом подмножестве допустимых цен $P$.

Функция (отображение) предложения $z(p)$ является положительно однородной нулевой степени. Если технологическое множество строго выпукло, то функция предложения является однозначной на P и непрерывной на внутренности $P$. Если функция предложения дважды дифференцируема, то матрица Якоби этой функции симметрична и неотрицательно определена.

Если технологическое множество представлено посредством производственной функции, то прибыль определяется как $pf(x)-wx$, где $w$ — вектор цен на факторы производства, $p$ в данном случае цена выпускаемой продукции. Тогда для любого внутреннего решения (то есть принадлежащего внутренности $X$) задачи производителя справедливо равенство предельного продукта каждого фактора его относительной цене, то есть в векторной форме $f'(x)=w/p$.

Если задана функция прибыли $\pi (p)$, являющаяся дважды непрерывно дифференцируемой, выпуклой и положительно однородной (первой степени) функцией, то можно восстановить технологическое множество, как множество, содержащее при любом неотрицательном векторе цен $p$ векторы чистых выпусков $z$, удовлетворяющих неравенству $pz\leqslant \pi (p)$. Можно также показать, что если функция предложения является положительно однородной нулевой степени и матрица её первых производных непрерывна, симметрична и неотрицательно определена, то соответствующая функция прибыли удовлетворяет вышеуказанным требованиям (верно также и обратное утверждение).

См. также

• Производственная функция
• Кривая производственных возможностей