Топологическая семантика

Топологическая семантика является естественной семантикой для неклассических логик, таких как интуиционистская логика и модальная логика. Исторически топологическая семантика появилась раньше более распространенной на данной момент семантики Крипке. Основы топологической семантики были заложены в работах Куратовского.

Топологическая семантика для модальной логикиПравить

Пусть   — топологическое пространство, топологической моделью называется пара  , где   — это оценка, которая каждой переменной ставит в соответствие множество точек топологического пространства, в которых эта переменная считается истинной. А именно,  , где   — множество пропозициональных переменных. Истинность модальной формулы   в точке   топологической модели определяется индукцией по длине формулы:

 , если   
 
 , если  
 , если   и  
 , если   или  
 , если   или  
 , если существует окрестность   точки  , такая что  

Формула называется общезначимой в топологической модели, если она истинна во всех точках модели.

Формула называется общезначимой в топологическом пространстве, если она общезначима во всех моделях в этом пространстве.

Благодаря свойствам топологических пространств в любой топологической модели наряду с аксиомой нормальности общезначимы следующие формулы:

 
 

Для шкал Крипке эти формулы, соответственно, задают рефлексивность и транзитивность отношения. Наименьшая нормальная модальная логика, содержащая эти формулы, называется S4.

Связь с семантикой КрипкеПравить

Пусть   - шкала Крипке, такая что   - транзитивное и рефлексивное отношение (т.е.  является предпорядком). На шкале   можно естественным образом определить топологическое пространство  . Базой топологии этого пространства являются множества вида

 .

Другими словами, в   открытыми считаются все такие множества   для которых верно, что

 .

Для любой точки, для любой оценки и любой формулы верно, что