Угол параллельности

У́гол паралле́льности в геометрии Лобачевского — угол между перпендикуляром к данной прямой и асимптотически параллельной прямой, проведённой из точки, не лежащей на данной прямой.

Угол параллельности θ, прямые ${\mathcal {x}}$ и ${\mathcal {y}}$ асимптотически параллельны к прямой $\ell$.

В евклидовой геометрии угол параллельности всегда прямой.

В геометрии Лобачевского, угол параллельности всегда острый. На плоскости Лобачевского с кривизной −1 угол параллельности для точки на расстоянии $a$ от прямой обычно обозначается $\Pi (a)$.

Свойства и соотношения

• $\Pi (a)$ является острым углом при катете, равном $a$, в прямоугольном гиперболическом треугольнике, который имеет две асимптотические параллельные стороны.
• $\lim _{a\to 0}\Pi (a)={\tfrac {1}{2}}\cdot \pi \quad {\text{ и }}\quad \lim _{a\to \infty }\Pi (a)=0.$

• $\sin \Pi (a)=\operatorname {sech} a={\frac {1}{\operatorname {ch} a}}={\frac {2}{e^{a}+e^{-a}}}\ ,$

• $\cos \Pi (a)=\operatorname {th} a={\frac {e^{a}-e^{-a}}{e^{a}+e^{-a}}}\ ,$

• $\operatorname {\rm {tg}} \Pi (a)=\operatorname {csch} a={\frac {1}{\operatorname {sh} a}}={\frac {2}{e^{a}-e^{-a}}}$

• $\operatorname {\rm {tg}} \left({\tfrac {1}{2}}\cdot \Pi (a)\right)=e^{-a},$

• $\Pi (a)={\tfrac {1}{2}}\cdot \pi -\operatorname {gd} (a),$

где sh, ch, th, sech и csch — гиперболические функции, а gd — функция Гудермана.

История

Угол параллельности рассматривался Лобачевским. В частности, он вывел соотношение

$\operatorname {\rm {ctg}} \left({\tfrac {1}{2}}\cdot \Pi (a)\right)=e^{a}.$

Литература

• Д. Мордухай-Болтовской. О геометрических построениях в пространстве Лобачевского (рус.) // In mem. Lobatschevskii. — 1927. — Т. 2. — С. 67–82.
• Лобачевский, Николай Иванович. Геометрические исследования по теории параллельных линий. — М.—Л.: изд-во Академии Наук СССР, 1945. — 176 с.