Ультрапредел

Ультрапредел — конструкция, позволяющая определить предел для широкого класса математических объектов. В частности, она работает для числовых последовательностей и последовательностей точек в метрическом пространстве, допускает обобщения на последовательности  метрических пространств и последовательности функций на них.

Эта конструкция часто используется, чтобы избежать многократного перехода к подпоследовательности.

Эта конструкция использует существование неглавного ультрафильтра, доказательство которого в свою очередь использует аксиому выбора.

Неглавный ультрафильтрПравить

Напомним, что ультрафильтр   на множестве натуральных чисел   — это множество подмножеств множества  , которое замкнуто относительно операции пересечения и перехода к надмножеству, и для любого подмножества   оно содержит либо  , либо дополнение  .

Ультрафильтр называется неглавным, если он не содержит конечных множеств.

ОпределенияПравить

Далее   — неглавный ультрафильтр на множестве натуральных чисел  .

Ультрапредел точекПравить

Если   — последовательность точек в метрическом пространстве  , то точка   называется  -пределом  , если для каждого   подмножество

 

содержится в  .

В этом случае пишут и обозначается   или   при  .

Ультрапредел пространствПравить

Пусть   — последовательность метрических пространств. Рассмотрим всевозможные последовательности точек  . Для двух таких последовательностй определим расстояние как

 

Функция   является псевдометрикой со значениями в  . Соответствующее  -метрическое пространство   называется  -пределом последовательности  .

В этом случае пишут и обозначается   или   при  .

УльтрастепеньПравить

Ултрапредел постоянной последовательности метрических пространств   для ултрафильтра   также называется ултрастепенью,  -степенью, ультрапополнением или  -пополнением. Обычно  -степень   обозначается  .

  совпадает с   только если   — компактно.

СвойстваПравить

  • Если  -предел последовательности точек существует, то он единственный.
  • Если метрическое пространство компактно, то  -предел любой последовательности точек существует и единственный.
    • В частности, любая ограниченная последовательность вещественных чисел имеет вполне определенный  -предел в  .
  •  -предел последовательности является частным её пределом.
    • В частности, если  , то и в стандартном смысле  .
  • Ультрапредел последовательности может отличаться от ультрапредела подпоследовательности.
  • Равенство
     
выполняется для произвольной непрерывной функции  , определённой в точке  .
  • В частности:
     
     

См. такжеПравить