Ультрапредел

Ультрапредел — конструкция, позволяющая определить предел для широкого класса математических объектов. В частности, она работает для числовых последовательностей и последовательностей точек в метрическом пространстве, допускает обобщения на последовательности  метрических пространств и последовательности функций на них.

Эта конструкция часто используется, чтобы избежать многократного перехода к подпоследовательности.

Эта конструкция использует существование неглавного ультрафильтра, доказательство которого в свою очередь использует аксиому выбора.

Неглавный ультрафильтр

Напомним, что ультрафильтр $\omega$ на множестве натуральных чисел $\mathbb {N}$ — это множество подмножеств множества $\mathbb {N}$, которое замкнуто относительно операции пересечения и перехода к надмножеству, и для любого подмножества $X\subset \mathbb {N}$ оно содержит либо $X$, либо дополнение $\mathbb {N} \backslash X$.

Ультрафильтр называется неглавным, если он не содержит конечных множеств.

Определения

Далее $\omega$ — неглавный ультрафильтр на множестве натуральных чисел $\mathbb {N}$.

Ультрапредел точек

Если $(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ — последовательность точек в метрическом пространстве $M$, то точка $x_{\omega }\in M$ называется $\omega$-пределом $(x_{n})$, если для каждого $\varepsilon >0$ подмножество

$\{\,n\in \mathbb {N} \mid d(x_{n},x_{\omega })\leqslant \varepsilon \,\}$

содержится в $\omega$.

В этом случае пишут и обозначается $x_{\omega }=\lim _{n\to \omega }x_{n}$ или $x_{n}\to x_{\omega }$ при $n\to \omega$.

Ультрапредел пространств

Пусть $(M_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ — последовательность метрических пространств. Рассмотрим всевозможные последовательности точек $x_{n}\in M_{n}$. Для двух таких последовательностй определим расстояние как

$|(x_{n})-(y_{n})|=\lim _{n\to \omega }|x_{n}-y_{n}|_{M_{n}}.$

Функция $((x_{n}),(y_{n}))\mapsto |(x_{n})-(y_{n})|$ является псевдометрикой со значениями в $[0,\infty ]$. Соответствующее $\infty$-метрическое пространство $M_{\omega }$ называется $\omega$-пределом последовательности $M_{n}$.

В этом случае пишут и обозначается $M_{\omega }=\lim _{n\to \omega }M_{n}$ или $M_{n}\to M_{\omega }$ при $n\to \omega$.

Ультрастепень

Ултрапредел постоянной последовательности метрических пространств $M_{n}=M$ для ултрафильтра $\omega$ также называется ултрастепенью, $\omega$-степенью, ультрапополнением или $\omega$-пополнением. Обычно $\omega$-степень $M$ обозначается $M^{\omega }$.

$M^{\omega }$ совпадает с $M$ только если $M$ — компактно.

Свойства

• Если $\omega$-предел последовательности точек существует, то он единственный.
• Если метрическое пространство компактно, то $\omega$-предел любой последовательности точек существует и единственный.
  • В частности, любая ограниченная последовательность вещественных чисел имеет вполне определенный $\omega$-предел в $\mathbb {R}$.
• $\omega$-предел последовательности является частным её пределом.
  • В частности, если $x=\lim _{n\to \infty }x_{n}$, то и в стандартном смысле $x=\lim _{n\to \omega }x_{n}$.
• Ультрапредел последовательности может отличаться от ультрапредела подпоследовательности.
• Равенство

  $f(\lim _{n\to \omega }x_{n})=\lim _{n\to \omega }f(x_{n})$

выполняется для произвольной непрерывной функции $f$, определённой в точке $x_{\omega }=\lim _{n\to \omega }x_{n}$.

• В частности:

  $\lim _{n\to \omega }(x_{n}+y_{n})=\lim _{n\to \omega }x_{n}+\lim _{n\to \omega }y_{n}$

  $\lim _{n\to \omega }(x_{n}\cdot y_{n})=(\lim _{n\to \omega }x_{n})\cdot (\lim _{n\to \omega }y_{n})$

См. также

• Ультрафильтр