Уравнение Коши — Эйлера
В статье не хватает ссылок на источники (см. рекомендации по поиску). |
В математике (дифференциальных уравнениях) уравнение Коши — Эйлера (Эйлера — Коши) является частным случаем линейного дифференциального уравнения, приводимым к линейному дифференциальному уравнению с постоянными коэффициентами, которое имеет простой алгоритм решения.
Уравнение Коши — Эйлера | |
---|---|
Названо в честь | Огюстен Луи Коши и Леонард Эйлер |
Первооткрыватель или изобретатель | Леонард Эйлер |
Определяющая формула |
Уравнение порядка n
правитьОбщий вид уравнения :
- .
Его частный случай :
- .
Подстановка
правитьПодстановка вида
то есть
приводит уравнение к виду линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами.
Действительно, заметим, что
,
и
.
В соответствии с этим:
откуда
таким образом
Вычислим очередную
производную сложной функции
- ,
что приводит к
- .
и далее
что, аналогично, приводит к
Эта цепь вычислений может быть продолжена до любого порядка n
Пример
правитьДано неоднородное уравнение
- .
Определив подстановку ,
приходим к уравнению
- .
После приведения имеем линейное неоднородное уравнение с постоянными коэффициентами
- ,
решение которого имеет вид
или в терминах
Уравнение второго порядка
правитьОбщий вид уравнения :
- .
Его частный случай :
- .
Подстановкой
то есть
или, соответственно,
- то есть
приводится к виду
линейного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
- .
или, соответственно,
- .
Пример
правитьДано неоднородное уравнение
- .
Определив подстановку ( ),
приходим к уравнению
- .
После приведения имеем линейное неоднородное уравнение с постоянными коэффициентами
- ,
решение которого имеет вид
или в терминах
Ещё один способ решения однородного уравнения второго порядка
правитьРассмотрим однородное уравнения второго порядка вида:
- .
Его решениями являются функции вида:
,
где — корни характеристического уравнения
- ,
которое совпадает с характеристическим уравнением однородного уравнения с постоянными коэффициентами, полученного из исходного уравнения путём описанной выше замены переменной. Если эти корни будут комплексными, то нужно воспользоваться формулой Эйлера и взять вещественную и мнимую части решения. Если же корни совпадут, то линейно независимыми решениями будут и
Пример
правитьДано однородное уравнение
- .
Характеристическое уравнение которого имеет вид
- ,
с решениями , .
Тогда общее решение однородного уравнения