Уравнение Льенара
Уравнение Лиенара — дифференциальное уравнение, часто использующееся в теории колебаний и динамических систем. Названо в честь французского физика А. Лиенара.
Определение править
Пусть и — две вещественные непрерывно-дифференцируемые функции, причём — нечётная функция, а — чётная. Тогда уравнение вида
называется уравнением Лиенара.[1]
Кроме того, уравнение Лиенара можно[2][3] свести к дифференциальному уравнению первого порядка, сделав замену . Тогда уравнение Лиенара преобразуется в уравнение Абеля второго типа:
Примеры править
- Осциллятор Ван дер Поля имеет вид уравнения Лиенара при .
Связанные определения править
Система Лиенара править
Уравнение Лиенара может быть преобразовано в систему дифференциальных уравнений.
Пусть
- ;
- ;
- .
Тогда система вида
называется системой Лиенара.
Теорема Лиенара править
Система Лиенара имеет единственный и устойчивый предельный цикл около начала координат, если система удовлетворяет следующим трём свойствам:
- для всех ;
- имеет только один положительный корень при некотором значении параметра , причём
- при и
- и монотонна при .
См. также править
Примечания править
- ↑ Liénard, A. (1928) "Etude des oscillations entretenues, " Revue générale de l'électricité 23, pp. 901—912 and 946—954.
- ↑ Liénard equation Архивная копия от 2 июня 2012 на Wayback Machine at eqworld.
- ↑ Abel equation of the second kind Архивная копия от 2 июня 2012 на Wayback Machine at eqworld.