Уравнение (неравенство) с параметрами

Уравнение (неравенство) с параметрами — математическое уравнение (неравенство), внешний вид и решение которого зависит от значений одного или нескольких параметров.

Решить уравнение с параметром означает:

  1. Найти все системы значений параметров, при которых данное уравнение имеет решение.
  2. Найти все решения для каждой найденной системы значений параметров, то есть для неизвестного и параметра должны быть указаны свои области допустимых значений.

Уравнения с параметром могут быть как линейными, так и нелинейными.

Пример линейного уравнения с параметром:

Пример нелинейного уравнения с параметром:

где  — независимая переменная  — параметр.

Аналогично подразделяются и неравенства. Ниже будут представлены примеры решений уравнений и неравенств с параметрами.

Примеры

править
Пример 1.При каком   квадратное уравнение   имеет ровно один корень?

Решение. Любое квадратное уравнение имеет одно решение, когда его дискриминант равен нулю. Итак, дискриминант нашего уравнения:  . Далее имеем:  , откуда  .

Ответ: .
Пример 2. При каком   система уравнений :

 .

имеет ровно два решения?

Решение. Сначала надо преобразовать два уравнения системы, выделив в них полные квадраты:          

Нетрудно догадаться, что эти два равенства системы есть не что иное, как уравнения окружностей. Первая окружность имеет центр в точке  , радиус  , а вторая центр в точке   и радиус  . Если построить схематично эти окружности в одной системе координат, то можно заметить, что их общих точек пересечения будет две в том случае, если  . И задачу можно считать решённой.

Ответ: .
Пример 3. При всех   решить неравенство  .

Решение. Рассмотрим три случая:

  1. Если  , то неравенство приобретает вид  ;
  2. Если  , то все коэффициенты квадратного трехчлена будут положительны, значит, решение неравенства можно представить в виде  , где  ,  - корни многочлена и  . Далее находим:  

 

Следовательно,  , если   и  , если  .

3. Если  , то ветви параболы направлены вниз, естественно решение в общем виде будет выглядеть вот так:  .

Нам остается лишь записать ответ.

Ответ: если  , то  ; если  , то  ; если  , то  ; если  , то  .

См. также

править