Флаг (геометрия)

Флаг в геометрии многогранников — последовательность граней (различной размерности) абстрактного многогранника, в которой каждая предыдущая грань содержится в последующей и последовательность содержит ровно по одной грани каждой размерности.

Диаграмма граней квадратной пирамиды, показывающая один из её флагов

Более формально, флаг ψ n-мерного многогранника — это множество {F₋₁, F₀, …, F_n}, такое, что F_i ≤ F_i+1 (−1 ≤ i ≤ n − 1) и имеется ровно один элемент F_i в ψ для каждого i, (−1 ≤ i ≤ n). Поскольку минимальная грань F₋₁ и максимальная грань F_n должны быть в каждом флаге, их часто опускают из списка граней для краткости. Эти две грани называются несобственными.

Например, флаг трёхмерного многогранника состоит из вершины, одного ребра, инцидентного этой вершине, и одной многоугольной грани, инцидентной как вершине, так и ребру, плюс две несобственные грани. Флаг трёхмерного многогранника иногда называется «дартом».

Многогранник можно рассматривать как правильный тогда и только тогда, когда его группа симметрии является транзитивной на флагах. Это определение исключает хиральные многогранники.

Геометрия инцидентности

В более абстрактных условиях геометрии инцидентности, которая является множеством с симметричными и рефлексивными отношением, определённом на элементах множества и называемым инцидентностью. Флаг — это множество элементов, которые попарно инцидентны. Этот уровень абстракции обобщает как концепцию флагов многогранников, данную выше, так и концепцию флагов из линейной алгебры.

Флаг является максимальным, если он не содержится в большем флаге. Если все максимальные флаги геометрии инцидентности имеют один и тот же размер, это общее значение является рангом геометрии.

Литература

• Albrecht Beutelspacher, Ute Rosenbaum. Projective Geometry: from foundations to applications. — Cambridge: Cambridge University Press, 1998. — ISBN 0-521-48277-1.
• Peter R. Cromwell. Polyhedra. — Cambridge University Press, 1997. — ISBN 0-521-55432-2.
• Peter McMullen, Egon Schulte. Abstract Regular Polytopes. — Cambridge University Press, 2002. — ISBN 0-521-81496-0.