Формула Остроградского — Гаусса

(перенаправлено с «Формула Гаусса - Остроградского»)

Фо́рмула Остроградского — Гаусса связывает поток непрерывно-дифференцируемого векторного поля через замкнутую поверхность и интеграл от дивергенции этого поля по объёму, ограниченному этой поверхностью.

Формула применяется для преобразования объёмного интеграла в интеграл по замкнутой поверхности и наоборот.

Формулировка

править

Поток вектора   через замкнутую поверхность   равен интегралу от   взятому по объему  , ограниченному поверхностью  [1]

 

В координатной записи формула Остроградского — Гаусса принимает вид:

 
  - проекции вектора  
Следствия из теоремы Остроградского — Гаусса:
1) в бездивергентном поле ( ) поток вектора   через любую замкнутую поверхность  , являющуюся полной границей некоторого тела  , равен нулю.
2) если внутри замкнутой поверхности   имеется источник или сток, то поток вектора   через эту поверхность, убывающий с расстоянием как  , не зависит от её формы.

Замечания

править

В работе Остроградского формула записана в следующем виде:

 

где   и   — дифференциалы объёма и поверхности соответственно.   — функции, непрерывные вместе со своими частными производными первого порядка в замкнутой области пространства, ограниченного замкнутой гладкой поверхностью[2].

Современная запись формулы:

 

где  ,   и  . В современной записи   — элемент объёма,   — элемент поверхности[2].

Обобщением формулы Остроградского является формула Стокса для многообразий с краем.

История

править

Впервые теорема была установлена Лагранжем в 1762[3].

Общий метод преобразования тройного интеграла к поверхностному впервые показал Карл Фридрих Гаусс (1813, 1830) на примере задач электродинамики[4].

В 1826 году М. В. Остроградский вывел формулу в общем виде, представив её в виде теоремы (опубликовано в 1831 году). Многомерное обобщение формулы М. В. Остроградский опубликовал в 1834 году[4]. С помощью данной формулы Остроградский нашёл выражение производной по параметру от  -кратного интеграла с переменными пределами и получил формулу для вариации  -кратного интеграла.

За рубежом формула, как правило, называется «теоремой о дивергенции» (англ. divergence theorem), иногда — формулой Гаусса или «формулой (теоремой) Гаусса — Остроградского».

См. также

править

Примечания

править
  1. Воднев В. Г., Наумович А. Ф., Наумович Н. Ф. Теорема Остроградского // Математический словарь высшей школы. — Издательство МПИ. — С. 437.
  2. 1 2 Ильин В. А., Садовничий В. А., Сендов Бл. X. Математический анализ. Продолжение курса / Под ред. А. Н. Тихонова. — М.: Изд-во МГУ, 1987. — 358 с.
  3. В работе по теории звука в 1762 г. Лагранж рассматривает частный случай теоремы: Lagrange (1762) «Nouvelles recherches sur la nature et la propagation du son» (Новые исследования о природе и распространении звука), Miscellanea Taurinensia (Mélanges de Turin), 2: 11 — 172. Репринтное издание: «Nouvelles recherches sur la nature et la propagation du son» Архивная копия от 15 мая 2016 на Wayback Machine в кн.: J.A. Serret, ed., Oeuvres de Lagrange, (Paris, France: Gauthier-Villars, 1867), vol. 1, pages 151—316; на страницах 263—265 Архивная копия от 13 мая 2016 на Wayback Machine Лагранж преобразовывает тройные интегралы в двойные с помощью интегрирования по частям.
  4. 1 2 Александрова Н. В. Математические термины.(справочник). М.: Высшая школа, 1978, стр. 150—151.

Литература

править
  • Остроградский М. В. Note sur les integrales definies. // Mem. l’Acad. (VI), 1, стр. 117—122, 29/Х 1828 (1831).
  • Остроградский М. В. Memoire sur le calcul des variations des integrales multiples. // Mem. l’Acad., 1, стр. 35—58, 24/1 1834 (1838).