Теорема Кэли о числе деревьев

(перенаправлено с «Формула Кэли»)

Теорема Кэли о числе деревьев — теорема, утверждающая, что число деревьев с пронумерованными вершинами равно .

Полный список деревьев на 2, 3 и 4 вершинах с , и деревьями соответственно.

ИсторияПравить

Теорема названа в честь Артура Кэли, который доказал её в 1889 году.[1] Сам Кэли признавал, что то же утверждение было доказано раньше Карлом Борхардом и в эквивалентной формулировке ещё раньше в статье Джеймса Джозефа Сильвестра 1857 года.[2]

В своей статье Кэли по сути доказывает более общее утверждение. Если раскрыть скобки выражения

 

то коэффициент при одночлене вида   будет равен числу деревьев, у которых степени вершин равны степеням переменных данного терма:  .

Кэли подробно разбирает случай   и заявляет, что доказательство легко обобщается.

ФормулировкиПравить

Две эквивалентные формулировки:

  • Число различных деревьев на   вершинах, пронумерованных числами от   до   равно  .

Связанные утвержденияПравить

  • Количество деревьев на   пронумерованных вершинах оказывается также равным числу разложений  -цикла   в произведение   транспозиции.
  • Количество деревьев на   пронумерованных вершинах оказывается также равным числу (соответствующим образом нормированных) многочленов степени   с заданными   критическими значениями общего положения.

О доказательствахПравить

  • Формула Кэли немедленно следует из свойств кода Прюфера — способа однозначного кодирования  -вершинного помеченного дерева упорядоченной последовательностью из   номеров его вершин.
  • Одно из доказательств строится на следующем соотношении
     
на экспоненциальную производящую функцию
 
где   обозначает число корневых деревьев на   данных вершинах. По теореме Лагранжа об обращении рядов, из этого соотношения следует, что  . Последнее влечёт формулу Кэли поскольку для каждого остовного дерева есть ровно   способов выбрать корневую вершину.[3]

Вариации и обобщенияПравить

  • Количество способов связывания графа, состоящего из   несвязных компонент, каждая размером   вершин, равно
     
    Здесь   - общее количество вершин графа.
    Если каждая компонента состоит из одной вершины  , то  , и формула дает исходное число Кэли  .

ПримечанияПравить

  1. Cayley A. A theorem on trees. Quart. J. Pure Appl. Math., 23 (1889), 376–378; Collected Mathematical Papers, Vol. 13, Cambridge University Press, 1897, 26–28.
  2. Biggs N. L., Lloyd E. K., Wilson R. J. Graph Theory 1736-1936. Clarendon Press, Oxford, 1976.
  3. Харари Ф., Палмер Э. Перечисление графов. — Мир, 1977.

ЛитератураПравить