Формула суммирования Абеля

Формула суммирования Абеля, введённая норвежским математиком Нильсом Хенриком Абелем, часто применяется в теории чисел для оценки сумм конечных и бесконечных рядов.

Формула

Пусть $a_{n}$ — последовательность действительных или комплексных чисел и $f(x)$ — непрерывно дифференцируемая на луче $[1,x)$ функция. Тогда

$\sum _{1\leq n\leq x}a_{n}f(n)=A(x)f(x)-\int _{1}^{x}A(u)f'(u)\,\mathrm {d} u$

где

$A(x):=\sum _{0<n\leq x}a_{n}\,.$

Доказательство

Представим обе части равенства как функции от $x$. Во-первых, заметим, что при $x=1$ равенство верно (интеграл обращается в ноль). Во-вторых, при нецелых $x$ обе части можно продифференцировать, получив верное равенство. Наконец, при целом $x$ левая часть имеет скачок $a_{x}f(x)$, такой же скачок имеет функция $A(x)f(x)$, а интеграл непрерывен, то есть имеет скачок равный нулю. Таким образом, формула доказана для всех $x\geq 1$.

Если частичные суммы ряда $a_{n}$ ограничены, а $\lim \limits _{x\to \infty }f(x)=0$, то предельным переходом можно получить следующее равенство

$\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}f(n)=-\int \limits _{1}^{+\infty }A(u)f'(u)\,\mathrm {d} u$

В общем случае,

$\sum _{x<n\leq y}a_{n}f(n)=A(y)f(y)-A(x)f(x)-\int _{x}^{y}A(u)f'(u)\,\mathrm {d} u\,.$

Примеры

Постоянная Эйлера — Маскерони

Для $a_{n}=1$ и $f(x)={\frac {1}{x}}\,,$ легко видеть, что $A(x)=\lfloor x\rfloor ,$ тогда

$\sum _{n=1}^{x}{\frac {1}{n}}={\frac {\lfloor x\rfloor }{x}}+\int _{1}^{x}{\frac {\lfloor u\rfloor }{u^{2}}}\,\mathrm {d} u={\frac {\lfloor x\rfloor }{x}}+\mathrm {ln} (x)-\int _{1}^{x}{\frac {\{u\}}{u^{2}}}\mathrm {d} u$

перенося в левую часть логарифм и преходя к пределу, получаем выражение для постоянной Эйлера — Маскерони:

• $\gamma =1-\int \limits _{1}^{\infty }{\frac {\{u\}}{u^{2}}}\,du$, где $\left\{t\right\}$ — дробная часть числа $t$.

Представление дзета-функции Римана

Для $a_{n}=1$ и $f(x)={\frac {1}{x^{s}}}\,,$ аналогично $A(x)=\lfloor x\rfloor ,$ тогда

$\sum _{1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}=s\int _{1}^{\infty }{\frac {\lfloor u\rfloor }{u^{1+s}}}\mathrm {d} u=s\left(\int _{1}^{\infty }{\frac {u}{u^{1+s}}}\mathrm {d} u-\int _{1}^{\infty }{\frac {\{u\}}{u^{1+s}}}\mathrm {d} u\right)=1+{\frac {1}{s-1}}-s\int _{1}^{\infty }{\frac {\{u\}}{u^{1+s}}}\mathrm {d} u\,.$

Эту формулу можно использовать для определения дзета-функции в области $\Re (s)>0,$ поскольку в этом случае интеграл сходится абсолютно. Кроме того, из неё следует, что $\zeta (s)$ имеет простой полюс с вычетом 1 в точке s = 1.