Формулы Грина — Кубо

Формулы Грина — Кубо или соотношения Грина — Кубо связывают кинетические коэффициенты (коэффициенты переноса) линейных диссипативных процессов с временны́ми корреляционными функциями соответствующих потоков.

Названы по именам Мелвилла Грина, установившем их в 1952—1954 годах на основе теории марковских процессов, и Риого Кубо, установившем их в 1957 году с помощью теории реакции статистической системы на внешние возмущения.

Иногда формулы Грина — Кубо называют формулами Кубо. При этом существуют отдельные формулы Кубо, являющиеся частным случаем формул Грина — Кубо.

Формулы Грина — Кубо применимы к газам, жидкостям и твёрдым телам как для классически, так и для квантовых систем. Они являются одним из наиболее важных результатов статистической теории необратимых процессов.

Коэффициент самодиффузии

Коэффициент самодиффузии $D$ выражается через интеграл корреляционной функции проекции скорости (импульса) частицы:

$D=\lim _{\varepsilon \to +0}m_{1}^{-2}\int \limits _{0}^{\infty }e^{-\varepsilon \tau }\langle p_{1}^{x}(0)p_{1}^{x}(\tau )\rangle \,\mathrm {d} \tau ,$

где $p_{i}$ — импульс частицы (номер 1), верхний индекс $x$ означает $x$-компоненту вектора, $\tau$ — время. Угловые скобки означают усреднение по равновесному распределению Гиббса. В классическом случае формула упрощается:

$D=\int \limits _{0}^{\infty }\langle v_{1}^{x}(0)v_{1}^{x}(\tau )\rangle \,\mathrm {d} \tau .$

Коэффициент теплопроводности

$\lambda =\lim _{\varepsilon \to +0}\lim _{V\to \infty }{\frac {1}{V\,k_{B}T}}\int \limits _{0}^{\infty }e^{-\varepsilon \tau }\langle J_{Q}^{x}(0)J_{Q}^{x}(\tau )\rangle \,\mathrm {d} \tau ,$

где $\lambda$ — коэффициент теплопроводности, $V$ — объём, $T$ — температура, $k_{B}$ — постоянная Больцмана, $J_{Q}^{x}$ — $x$-компонента потока тепла.

Коэффициент сдвиговой вязкости

$\eta =\lim _{\varepsilon \to +0}\lim _{V\to \infty }{\frac {1}{V\,k_{B}T}}\int \limits _{0}^{\infty }e^{-\varepsilon \tau }\langle \pi ^{xy}(0)\pi ^{xy}(\tau )\rangle \,\mathrm {d} \tau ,$

где $\eta$ — коэффициент сдвиговой вязкости, $\pi ^{xy}$ — компоненты тензора потока полного импульса.

Коэффициент объёмной вязкости

$\zeta =\lim _{\varepsilon \to +0}\lim _{V\to \infty }{\frac {1}{V\,k_{B}T}}\int \limits _{0}^{\infty }e^{-\varepsilon \tau }\langle (1-{\mathcal {P}})\pi ^{xx}(0)\pi ^{xx}(\tau )\rangle \,\mathrm {d} \tau ,$

где $\zeta$ — коэффициент объёмной вязкости, оператор

${\mathcal {P}}\pi ^{xx}=\langle \pi ^{xx}\rangle +{\big (}H-\langle H\rangle {\big )}{\frac {\partial \langle \pi ^{xx}\rangle }{\partial \langle H\rangle }}+{\big (}N-\langle N\rangle {\big )}{\frac {\partial \langle \pi ^{xx}\rangle }{\partial \langle N\rangle }},$

$H$ — гамильтониан системы, $N$ — полное число частиц.

См. также

• Матрица плотности
• Уравнение Линдблада

Литература

• M. S. Green, Markoff Random Processes and the Statistical Mechanics of Time-Dependent Phenomena. II. Irreversible Processes in Fluids, J. Chem. Phys 22 (1954), p. 398—413.

• R. Kubo, Statistical-Mechanical Theory of Irreversible Processes. I. General Theory and Simple Applications to Magnetic and Conduction Problems, J. Phys. Soc. Jpn. 12 (1957), p. 570—586.

• Физическая энциклопедия / Прохоров А. М. (ред.). — М.: Советская энциклопедия, 1992. — 672 с. — ISBN 5-85270-034-7.