Фортуново число

Нерешённые проблемы математики: Существуют ли составные фортуновы числа? (Гипотеза Фортуны)

Фортуново число (по имени новозеландского социального антрополога Рио Франклина Фортуны) — наименьшее целое m > 1, такое, что для заданного положительного целого числа n число p_n# + m является простым, где праймориал p_n# — это произведение первых n простых чисел.

Например, для нахождения седьмого фортунова числа нужно вычислить произведение первых семи простых чисел (2, 3, 5, 7, 11, 13 и 17), что даст 510510. Добавление к результату 2 даёт опять чётное число, добавление 3 даст делящееся на 3 число, и так будет продолжаться вплоть до 18. Добавление 19, однако, даёт число 510529, которое является простым. Таким образом, 19 является фортуновым числом. Фортуново число для p_n# всегда больше p_n и все его делители больше p_n. Это является следствием факта, что p_n#, а тогда и p_n# + m, делятся на простые делители чисел m, не превосходящих p_n.

Фортуновы числа для первых нескольких праймориалов:

3, 5, 7, 13, 23, 17, 19, 23, 37, 61, 67, 61, 71, 47, 107, 59, 61, 109, … (последовательность A005235 в OEIS).

Отсортированные фортуновы числа без повторений:

3, 5, 7, 13, 17, 19, 23, 37, 47, 59, 61, 67, 71, 79, 89, 101, 103, 107, 109, 127, 151, 157, 163, 167, 191, 197, 199, ... (последовательность A046066 в OEIS).

Рио Фортун высказал предположение, что среди этих чисел нет составных (гипотеза Фортуны). Фортуново простое — это число Фортуны, являющееся также и простым, на 2012 год все известные фортуновы числа являются простыми.

Литература

• Chris Caldwell. The Prime Glossary: Fortunate number // Prime Pages.
• Weisstein, Eric W. Fortunate Prime (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.

Richard K. Guy. Unsolved problems in number theory. — 2nd. — Springer, 1994. — С. 7–8. — ISBN 0-387-94289-0.