Функторы Ext — производные функторы функтора Hom. Они впервые появились в гомологической алгебре, где они играют центральную роль, например, в теореме об универсальных коэффициентах, но теперь они используются во многих разных областях математики.

Этот функтор естественным образом появляется при изучении расширений модулей. Название происходит от англ. extension — расширение.

Мотивировка: расширения модулейПравить

Эквивалентность расширенийПравить

Пусть A — абелева категория. Согласно теореме Митчелла о вложении[en], можно считать, что мы работаем с категорией модулей. Расширением объекта Z при помощи объекта X называется короткая точная последовательность вида

 .

Два расширения

 
 

называются эквивалентными, если существует морфизм  , делающий диаграмму

 

коммутативной, где   — тождественный морфизм. Согласно лемме о змее, g является изоморфизмом.

Класс расширений Z при помощи X по модулю этого отношения эквивалентности образует множество, которое обозначают   и называют множеством классов расширений Z при помощи X.

Сумма БаераПравить

Если даны два расширения

 
 

можно построить их сумму Баера, рассмотрев расслоённое произведение над  ,

 

Мы рассматриваем фактор

 ,

то есть факторизуем по соотношениям  . Расширение

 

где первая стрелка отображает   в  , а вторая отображает   в  , называется суммой Баера расширений E и E'.

С точностью до эквивалентности расширений, сумма Баера коммутативна и тривиальное расширение является нейтральным элементом. Расширение, обратное к 0 → BEA → 0 — это то же самое расширение, в котором у одной из стрелок изменён знак, например, морфизм g заменён на -g.

Таким образом, множество расширений с точностью до эквивалентности образует абелеву группу.

ОпределениеПравить

Пусть R — кольцо, рассмотрим категорию R-модулей R-Mod. Зафиксируем объект A категории R-Mod и обозначим через T функтор Hom

 .

Этот функтор точен слева. Он обладает правыми производными функторами. Функторы Ext определяются следующим образом:

 .

В частности,  .

Двойственным образом, можно использовать контравариантный функтор Hom  и определить  . Определённые таким образом функторы Ext изоморфны. Их можно вычислить при помощи инъективной резольвенты B или проективной резольвенты A соответственно.

СвойстваПравить

  • Exti
    R
    (A, B) = 0 при i > 0, если B инъективен или A проективен.
  • Обратное утверждение также верно: если Ext1
    R
    (A, B) = 0 для всех A, то Exti
    R
    (A, B) = 0 для всех A и B инъективен; если Ext1
    R
    (A, B) = 0 для всех B, то Exti
    R
    (A, B) = 0 для всех B, и A проективен.
  •  
  •  
  •   при n ≥ 2 для абелевых групп A и B.
  •   для абелевой группы B. Это может быть использовано для вычисления   для любой конечно порождённой абелевой группы A.
  • Пусть A — конечно порождённый модуль над коммутативным нётеровым кольцом R. Тогда для любого мультипликативно замкнутого подмножества S, любого модуля B и любого n,  .
  • Если R коммутативно и нётерово, и A — конечно порождённый R-модуль, то следующие утверждения эквивалентны для любого модуля B и любого n:
    •  
    • Для каждого простого идеала   кольца R,  .
    • Для каждого максимального идеала   кольца R,  .

ЛитератураПравить

  • Маклейн С. Категории для работающего математика = Categories for the working mathematician / Пер. с англ. под ред. В. А. Артамонова. — М.: Физматлит, 2004. — 352 с. — ISBN 5-9221-0400-4.