Функция Лиувилля

В теории чисел, функция Лиувилля  — мультипликативная арифметическая функция, равная +1, если число является произведением чётного числа простых чисел, и −1 в противном случае.

Точнее, пусть  — факторизация числа,  — простые числа,  — натуральные числа. Тогда

(последовательность A008836 в OEIS).

Функция Лиувилля тесно связана с функцией Мёбиуса . Если , где  — число, свободное от квадратов, то

Сумма функции по всем делителям является характеристической функцией множества точных квадратов:

Применение формулы обращения Мёбиуса даёт нам отсюда

Абсолютная величина функции Мёбиуса является функцией, обратной к относительно свёртки Дирихле.

РядыПравить

Ряд Дирихле функции Лиувилля выражается через дзета-функцию Римана как

 

Кроме того,

 

Ряд Ламберта функции имеет вид

 

где   — тета-функция Якоби.

ЛитератураПравить

  • Pólya, G. (1919). “Verschiedene Bemerkungen zur Zahlentheorie”. Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung. 28: 31—40.
  • Haselgrove, C. Brian (1958). “A disproof of a conjecture of Pólya”. Mathematika. 5 (2): 141—145. DOI:10.1112/S0025579300001480. ISSN 0025-5793. MR 0104638. Zbl 0085.27102.
  • Lehman, R. (1960). “On Liouville's function”. Mathematics of Computation. 14 (72): 311&ndash, 320. DOI:10.1090/S0025-5718-1960-0120198-5. MR 0120198.
  • Tanaka, Minoru (1980). “A Numerical Investigation on Cumulative Sum of the Liouville Function”. Tokyo Journal of Mathematics. 3 (1): 187—189. DOI:10.3836/tjm/1270216093. MR 0584557.
  • Weisstein, Eric W. Liouville Function (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
  • A.F. Lavrik (2001), Liouville function, in Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4