Функция неопределённости

Функция неопределённости (ФН) — двумерная функция ${\chi \left(\tau ,f\right)}$, представляющая собой зависимость величины отклика согласованного фильтра на сигнал, сдвинутый по времени на ${\tau }$ и по частоте на ${\Delta f}$ относительно сигнала ${s\left(t\right)}$, согласованного с этим фильтром. Иными словами, она характеризует степень различия откликов фильтра на сигналы с различной временной задержкой (дальность) и частотой (радиальная скорость). Используется для анализа разрешающей способности сигналов по дальности и радиальной скорости в радиолокации.

Функция неопределённости представляет собой корреляционный интеграл

$\chi (\tau ,\Delta f)=\int _{-\infty }^{\infty }s(t)s^{*}(t-\tau )e^{i2\pi \Delta ft}\,dt$,

(1)

где * — операция комплексного сопряжения; ${i}$ — мнимая единица.

Вывод выражения

Основной операцией при согласованной фильтрации является вычисление взаимнокорреляционного интеграла между принимаемым $f\left(t\right)$ и ожидаемым (оптимальным для фильтра) $s\left(t\right)$ сигналом

$y\left(t\right)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }{f\left(\tau \right)s^{*}\left(\tau -t\right)d\tau }$.

Положим, что принимаемый сигнал имеет некоторый доплеровский сдвиг $\Delta f$ обусловленный скоростью цели и задаётся выражением $f\left(t\right)=s\left(t\right)e^{i2\pi \Delta ft}$. Тогда отклик согласованного фильтра определяется как

$y\left(t\right)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }{s\left(\tau \right)e^{i2\pi \Delta f\tau }s^{*}\left(\tau -t\right)d\tau }$.

Осуществив замену переменных $t=\tau$ и $\tau =t$ окончательно можно записать

$\chi (\tau ,\Delta f)=\int _{-\infty }^{\infty }s(t)s^{*}(t-\tau )e^{i2\pi \Delta ft}\,dt$.

Следует отметить, что существуют и другие формы записи выражения для функции неопределенности, представляющие собой абсолютное значение выражения (1), либо его квадрат.

Свойства функции неопределённости

• Максимальное значение ФН находится в точке начала координат $\left(\tau =0,\Delta f=0\right)$ и количественно равно $E$

$\left|\chi \left(\tau ,\Delta f\right)\right|\leq \left|\chi \left(0,0\right)\right|=E$,

где $E=\int \limits _{-\infty }^{\infty }{{{\left|s\left(t\right)\right|}^{2}}dt}$ — энергия сигнала.

• По модулю ФН симметрична относительно начала координат

$\left|\chi \left(\tau ,\Delta f\right)\right|=\left|\chi \left(-\tau ,-\Delta f\right)\right|$.

• Объём квадрата модуля ФН является постоянным и равен ${{E}^{2}}$.

$\int \limits _{-\infty }^{\infty }\int \limits _{-\infty }^{\infty }{{{\left|\chi \left(\tau ,\Delta f\right)\right|}^{2}}d\tau df=}{{E}^{2}}$.

• Если $S(t)$ является преобразованием Фурье от сигнала $s(t)$, то согласно теореме Парсеваля функция неопределенности может быть представлена в виде

$\chi (\tau ,\Delta f)=\int _{-\infty }^{\infty }S^{*}(f)S(f-\Delta f)e^{-i2\pi f\tau }\,df$.

Функции неопределённости некоторых сигналов

Идеальная ФН

Идеальная ФН представляет собой дельта функцию

$\chi (\tau ,\Delta f)=\delta (\tau )\delta (\Delta f)$,

имеющую бесконечное значение в точке $(0,0)$ и нулевое во всех остальных случаях. Идеальная ФН обеспечивает наилучшую разрешающую способность двух бесконечно близко расположенных целей. Является математической идеализацией. Примером сигнала с идеальной ФН может быть сигнал с бесконечной шириной спектра.

Прямоугольный импульс

Модуль ФН прямоугольного импульса

Модуль ФН нормированного прямоугольного импульса длительностью $T$, заданного как

$s(t)={\frac {1}{\sqrt {T}}}\mathrm {rect} \left({\frac {t}{T}}\right)$,

где $\mathrm {rect()}$ — прямоугольная функция, на основании выражения (1) имеет вид

$\left|\chi (\tau ,\Delta f)\right|=\left|\left(1-{\frac {\left|\tau \right|}{T}}\right){\frac {\sin \left(\pi T\Delta f\left(1-\left|\tau \right|/T\right)\right)}{\pi T\Delta f\left(1-\left|\tau \right|/T\right)}}\right|$.

Сечение ФН по оси времени при $\Delta f=0$ определяется выражением

$\left|\chi (\tau ,0)\right|={\begin{cases}1-{\frac {\left|\tau \right|}{T}},&|\tau |\leq T\\0,&{\mbox{otherwise}}.\\\end{cases}}$

Сечение ФН по оси частот при $\tau =0$ определяется выражением

$\left|\chi (0,\Delta f)\right|=\left|{\frac {\sin(\pi T\Delta f)}{\pi T\Delta f}}\right|$.

ЛЧМ импульс

Модуль ФН ЛЧМ импульса

Пусть ЛЧМ импульс задан выражением

$s(t)={\frac {1}{\sqrt {T}}}\mathrm {rect} \left({\frac {t}{T}}\right)e^{i\pi \mu t^{2}}$,

где $\mu =\pm {B}/{T}$ — крутизна ЛЧМ; $B$ — девиация частоты. Тогда модуль ФН определяется как

$\left|\chi (\tau ,\Delta f)\right|=\left|\left(1-{\frac {\left|\tau \right|}{T}}\right){\frac {\sin \left(\pi T(\Delta f\pm B({\tau }/{T}))\left(1-\left|\tau \right|/T\right)\right)}{\pi T(\Delta f\pm B({\tau }/{T}))\left(1-\left|\tau \right|/T\right)}}\right|$,

при $\left|\tau \right|\leq T$.

Литература

1. Дудник, П. И. Авиационные радиолокационные комплексы и системы: учебник для слушателей и курсантов ВУЗов ВВС / П. И. Дудник, Г. С. Кондратенков, Б. Г. Татарский, А. Р. Ильчук, А. А. Герасимов. Под ред. П. И. Дудника. — М.: Изд. ВВИА им. проф. Н.Е. Жуковского, 2006. — 1112 с. — ISBN 5-903111-15-7.
2. Лёзин, Ю. С. Введение в теорию и технику радиотехнических систем: Учеб. пособие для вузов. — М.: Радио и связь, 1986. — 280 с.
3. Mahafza, B. R. Radar Systems Analysis and Design Using MATLAB / Bassem R. Mahafza. — CHAPMAN&HALL/CRC, 2000. — 532 с. — ISBN 1-58488-182-8.