Циклотронная масса

Циклотронная масса — величина, играющая роль массы электрона или дырки в выражении для циклотронной частоты их периодического движения в постоянном и однородном магнитном поле.

Эффективная и циклотронная массы

В проводниках с анизотропной поверхностью Ферми инерционные характеристики носителей описываются с помощью тензора эффективных масс $m_{ik}$ ($i,k=x,y,z$). Тензор эффективных масс является симметричным тензором второго ранга, компоненты которого могут быть как положительными, так и отрицательными. В общем случае циклотронная масса не совпадает ни с одной из компонент тензора эффективных масс. Циклотронная масса $m_{c}$ появляется в теории, как величина входящая в выражение для циклотронной частоты ${{\omega }_{c}}=\left|e\right|B/{{m}_{c}}$ движения заряжённой частицы по периодической траектории в однородном магнитном поле $B$ ($e$- заряд частицы). В простейшем случае сферической Ферми поверхности тензор $m_{ik}$ диагонален, а все три диагональные компоненты равны $m_{kk}=m^{*}$ и совпадают с циклотронной массой $m^{*}=m_{c}$. Циклотронную массу измеряют с помощью изучения циклотронного резонанса, циклотронного резонанса Азбеля-Канера, магнитных осцилляционных эффектов (эффект Шубникова — де Гааза, эффект де Гааза — ван Альфена) и других кинетических эффектов и термодинамических характеристик. Знание циклотронной массы позволяет получить важную информацию о форме поверхности Ферми в твёрдом теле.

Теория для кремния

Поверхность Ферми кремния, который является непрямозонным полупроводником, состоит из шести эллипсоидов вращения в $k$-пространстве. Рассмотрим сечение поверхности Ферми плоскостью $xz$ такое, что в этой плоскости будут находиться 4 вытянутых эллипса с центрами расположенными на осях на расстоянии $k_{0}$. Пусть вектор магнитного поля $\mathbf {B}$ лежит в этой плоскости и образует угол $\theta$ с осью $z$. Анизотропный закон дисперсии для электронов имеет вид

$\varepsilon ={\frac {\hbar ^{2}}{2}}\left({\frac {k_{x}^{2}+k_{y}^{2}}{m_{t}}}+{\frac {(k_{z}-k_{0})^{2}}{m_{l}}}\right),$

где введены две разные эффективные массы $m_{t}$, $m_{l}$ (диагональные компоненты тензора эффективных масс), называемые соответственно продольной и поперечной эффективными массами. Уравнение движения частицы (второй закон Ньютона) с зарядом «-e» в магнитном поле $\mathbf {B}$ в отсутствие затухания

$\hbar {\frac {d\mathbf {k} }{dt}}=-e\mathbf {v} \times \mathbf {B} ,$

где $\mathbf {k}$ — волновой вектор, а скорость частицы $\mathbf {v}$ определяется выражением

$\mathbf {v} ={\frac {1}{\hbar }}\nabla _{k}\varepsilon =\left({\frac {\hbar k_{x}}{m_{t}}},\,{\frac {\hbar k_{y}}{m_{t}}},\,{\frac {\hbar (k_{z}-k_{0})}{m_{l}}}\right).$

Теперь распишем покомпонентно закон движения

$\hbar {\frac {dk_{x}}{dt}}=-{\frac {e\hbar Bk_{y}}{m_{t}}}\cos {\theta },$

$\hbar {\frac {dk_{y}}{dt}}={\frac {e\hbar Bk_{x}}{m_{t}}}\cos {\theta }-{\frac {e\hbar B(k_{z}-k_{0})}{m_{l}}}\sin {\theta },$

$\hbar {\frac {dk_{z}}{dt}}={\frac {e\hbar Bk_{y}}{m_{t}}}\sin {\theta }.$

Нас будет интересовать только решения вида

$k_{x}=k_{1}e^{i\omega t},\,k_{y}=k_{2}e^{i\omega t},\,k_{z}=k_{0}+k_{3}e^{i\omega t}.$

Это решение существует при определённой частоте называемой циклотронной, которая зависит от угла:

$\omega _{c}=eB\left({\frac {\sin ^{2}{\theta }}{m_{l}m_{t}}}+{\frac {\cos ^{2}{\theta }}{m_{t}^{2}}}\right)^{1/2}.$

Здесь можно определить циклотронную массу как

$m_{c}=\left({\frac {\sin ^{2}{\theta }}{m_{l}m_{t}}}+{\frac {\cos ^{2}{\theta }}{m_{t}^{2}}}\right)^{-1/2}.$

Видно, что если угол равен нулю, то $m_{c}=m_{t}$, а если угол прямой: $m_{c}={\sqrt {m_{l}m_{t}}}$.

Общий случай

В общем случае для произвольной поверхности Ферми, например в металлах поверхность Ферми может принимать сложную форму нужно использовать следующую формулу для циклотронной частоты

$\omega _{c}={\frac {2\pi eB}{\hbar ^{2}}}{\frac {1}{(\partial S/\partial \varepsilon _{F})}}$

и циклотронной массы

$m_{c}={\frac {\hbar ^{2}}{2\pi }}{\frac {\partial S}{\partial \varepsilon }},\qquad (1)$

где $S(\varepsilon ,k_{H})$ — площадь сечения поверхности Ферми плоскостью ${k_{H}}=const$, $k_{H}$ — проекция волнового вектора электрона на направление магнитного поля, $\varepsilon$ — энергия электрона.

Случай параболической зоны

Для простейшей изотропной параболической зоны энергию и площадь можно представить в виде следующих функций от волнового вектора:

$\varepsilon _{k}={\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m^{*}}}\$,

${S}\left(\varepsilon _{F},{{k}_{H}}\right)=\pi k_{\bot }^{2}=\pi \left({\frac {2{{m}^{*}}\varepsilon _{F}}{{\hbar }^{2}}}-k_{H}^{2}\right)\,,$

где $k_{\bot }$ — величина компоненты волнового вектора, перпендикулярной магнитному полю, $\varepsilon _{F}$ — энергия Ферми. В этом случае производная от энергии по площади будет иметь простейший вид:

${\frac {\partial {S}}{\partial \varepsilon _{F}}}={\frac {2\pi {{m}^{*}}}{{\hbar }^{2}}}\,.$

Подставляя полученное значение для производной в формулу для эффективной массы, находим:

$m_{c}={\frac {\hbar ^{2}}{2\pi }}\cdot {\frac {\partial S}{\partial \varepsilon _{F}}}=m^{*}\,.$

Таким образом, в случае простой изотропной параболической зоны имеется тождественность «циклотронной массы» и «эффективной массы». Данное обстоятельство позволяет в большинстве практических случаев измерять эффективную массу носителей в твёрдом теле.

Циклотронная масса для графена

Двухмерный закон дисперсии графена вблизи точек Дирака задается уравнением

$\varepsilon =\pm \hbar v_{F}k\,,$

где $\varepsilon$ — энергия возбуждения, $v_{F}$ — скорость Ферми, $k$ — абсолютная величина двухмерного волнового вектора.

Рассмотрим легированный графен с плотностью носителей на единицу площади, $n_{s}$, при достаточно низкой температуре, такой что электроны образуют вырожденный Ферми-газ. Тогда можно определить поверхность Ферми как 2D линию — круг $\varepsilon =\varepsilon _{F}$. После учёта спинового и долинного вырождения соответствующий волновой вектор Ферми $k_{F}$ равен

${{k}_{F}}={\sqrt {\pi n_{s}}}\,.$

Для того чтобы определить циклотронную массу в квазиклассическом приближении, используем уравнение (1), в которое следует подставить, $S(\varepsilon )$, площадь в k-пространстве, ограниченную орбитой с энергией $\varepsilon$

$S\left(\varepsilon \right)=\pi {{k}^{2}}\left(\varepsilon \right)={\frac {\pi {{\varepsilon }^{2}}}{{{\hbar }^{2}}v_{F}^{2}}}\,,$

откуда находим, циклотронную массу:

$m_{c}={\frac {\hbar {{k}_{F}}}{{v}_{F}}}={\frac {\hbar }{v_{F}}}{\sqrt {\pi n_{s}}}\,.$

См. также

• Эффективная масса
• Циклотронный резонанс
• Циклотронный резонанс Азбеля — Канера

Литература

1. Hook J. R., Hall H. E. Solid State Physics. — 2-nd ed.. — Chichester: John Wiley & Sons, 1997. — С. 158—159. — 474 с. — ISBN 0-471-92805-4.
2. Ридли Б. Квантовые процессы в полупроводниках. — Москва: Мир, 1986. — С. 63—64. — 304 с. — ISBN УДК 537.33+535.2.

Ссылки

• Физическая энциклопедия, т.5 — М.:Большая Российская Энциклопедия стр.429