Энергия Ферми

Энергия (уровень) Фе́рми () системы невзаимодействующих фермионов — это увеличение энергии основного состояния системы при добавлении одной частицы. Энергия Ферми эквивалентна химическому потенциалу системы в её основном состоянии при абсолютном нуле температур. Энергия Ферми может также интерпретироваться как максимальная энергия фермиона в основном состоянии при абсолютном нуле температур. Энергия Ферми — одно из центральных понятий физики твёрдого тела.

Для нерелятивистских невзаимодействующих частиц со спином 1/2 в трёхмерном пространстве

Название дано в честь итальянского физика Энрико Ферми. Здесь - приведенная постоянная Планка, - масса фермиона, - концентрация частиц.

Фермионы — частицы с полуцелым спином, обычно 1/2, такие, как электроны — подчиняются принципу запрета Паули, согласно которому две одинаковые частицы, образуя квантово-механическую систему (например, атом), не могут принимать одно и то же квантовое состояние. Следовательно, фермионы подчиняются статистике Ферми — Дирака. Основное состояние невзаимодействующих фермионов строится начиная с пустой системы и постепенного добавления частиц по одной, последовательно заполняя состояния в порядке возрастания их энергии (например, заполнение электронами электронных орбиталей атома). Когда необходимое число частиц достигнуто, энергия Ферми равна энергии самого высокого заполненного состояния (или самого низкого незанятого состояния: в случае макроскопической системы различие неважно). Поэтому энергию Ферми называют также уровнем Фе́рми. Частицы с энергией, равной энергии Ферми, двигаются со скоростью, называемой скоростью Фе́рми.

В свободном электронном газе (квантово-механическая версия идеального газа фермионов) квантовые состояния могут быть помечены согласно их импульсу. Нечто подобное можно сделать для периодических систем типа электронов, движущихся в атомной решётке металла, используя так называемый квазиимпульс (Частица в периодическом потенциале). В любом случае состояния с энергией Ферми расположены на поверхности в пространстве импульсов, известной как поверхность Ферми. Для свободного электронного газа, поверхность Ферми — поверхность сферы; для периодических систем она вообще имеет искаженную форму. Объём, заключённый под поверхностью Ферми, определяет число электронов в системе, и её топология непосредственно связана с транспортными свойствами металлов, например, электрической проводимостью. Поверхности Ферми большинства металлов хорошо изучены экспериментально и теоретически.

Уровень Ферми при ненулевых температурахПравить

Для важного случая электронов в металле при всех разумных температурах   можно считать  , где   - химический потенциал при данной температуре,   - постоянная Больцмана. Такую ситуацию называют вырожденным ферми-газом. (В другом предельном случае   ферми-газ называют невырожденным, числа заполнения невырожденного ферми-газа малы и его можно описывать классической больцмановской статистикой.)

Энергия Ферми свободного ферми-газа связана с химическим потенциалом уравнением

 

Следовательно, химический потенциал приблизительно равен энергии Ферми при температурах намного меньше характерной температуры Ферми  . Характерная температура имеет порядок 104 K для металла, следовательно, при комнатной температуре (300 K), энергия Ферми и химический потенциал фактически эквивалентны. Это существенно, потому что химический потенциал не является энергией Ферми, которая входит в распределение Ферми — Дирака [1]

 

При температуре   и энергии фермиона  , равной  , функция распределения Ферми-Дирака стремится к значению  . При низких температурах   граница заполнения энергетических состояний   симметрично размывается на величину порядка  . При этом вероятность заполнения электронных состояний с энергией Ферми  . При высоких температурах размытие становится несимметричным, а значение химического потенциала смещается в область низких энергий[1].

В качестве уровня Ферми при   можно выбрать уровень, заполненный ровно наполовину (то есть уровень состояния, вероятность заполнения которого частицей равна 1/2).

Энергия, температура и скорость ФермиПравить

Элемент Энергия Ферми, эВ Температура Ферми, ×10 000 K Скорость Ферми, ×1000 км/с
Li 4,74 5,51 1,29
Na 3,24 3,77 1,07
K 2,12 2,46 0,86
Rb 1,85 2,15 0,81
Cs 1,59 1,84 0,75
Cu 7,00 8,16 1,57
Ag 5,49 6,38 1,39
Au 5,53 6,42 1,40
Be 14,3 16,6 2,25
Mg 7,08 8,23 1,58
Ca 4,69 5,44 1,28
Sr 3,93 4,57 1,18
Ba 3,64 4,23 1,13
Nb 5,32 6,18 1,37
Fe 11,1 13,0 1,98
Mn 10,9 12,7 1,96
Zn 9,47 11,0 1,83
Cd 7,47 8,68 1,62
Hg 7,13 8,29 1,58
Al 11,7 13,6 2,03
Ga 10,4 12,1 1,92
In 8,63 10,0 1,74
Tl 8,15 9,46 1,69
Sn 10,2 11,8 1,90
Pb 9,47 11,0 1,83
Bi 9,90 11,5 1,87
Sb 10,9 12,7 1,96
Ni 11,67 2,04
Cr 6,92 1,56

Связь энергии Ферми и концентрации электронов проводимостиПравить

Концентрация электронов проводимости в вырожденных полупроводниках связана с расстоянием от края частично заполненной энергетической зоны до уровня Ферми. Эту положительную величину иногда тоже называют энергией Ферми, по аналогии с энергией Ферми свободного электронного газа, которая, как известно, положительна.

В металлах обычно имеется несколько частично заполненных энергетических зон, поэтому указать точный вид зависимости концентрации свободных носителей заряда от положения уровня Ферми не представляется возможным.

См. такжеПравить

ПримечанияПравить

  1. 1 2 Н.Ашкрофт, Н.Мермин. ФИЗИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА. Том 1. — Москва: Мир, 1979. — 458 с.

ЛитератураПравить

  • Гусев В. Г., Гусев Ю. М. Электроника. — М.: Высшая школа, 1991. — С. 53. — ISBN 5-06-000681-6.