Открыть главное меню

Частица в периодическом потенциале

В квантовой механике, частица в одномерном периодическом потенциале — это идеализированная задача, которая может быть решена точно (при некоторых специального вида потенциалах), без упрощений. Предполагается, что потенциал бесконечен и периодичен, то есть обладает трансляционной симметрией, что, вообще говоря, не выполняется для реальных кристаллов, и всегда существует как минимум один дефект — поверхность (это приводит к другой задаче о поверхностных состояниях или таммовских уровнях).

Общий вид спектраПравить

Периодическая задачаПравить

Рассмотрим одномерную решётку ионов, расстояние между которыми  . Потенциал при этом будет периодическим. Рассмотрим сначала идеализированный случай бесконечного кристалла. Уравнение Шрёдингера имеет вид:

 

с периодическим потенциалом   Спектр определяется как множество тех энергий, при которых уравнение имеет решения, ограниченные (не стремящиеся к нулю или бесконечности) на всей вещественной оси. Уравнение Шрёдингера имеет второй порядок, соответственно пространство решений является двумерным. Пусть   — линейно независимые решения уравнения. Тогда при сдвиге на период, в силу периодичности задачи, они преобразуются через друг друга:

 

где   — некоторая матрица (матрица монодромии). Рассматривая вронскиан, несложно показать, что   унитарна и  . Отсюда следует, что в некотором базисе она имеет вид

 

Отсюда следует теорема Блоха: соответствующие собственные функции имеют вид

 

где   — периодические функции. Заметим, что пока что  . Очевидно, что спектру соответствуют  , что равносильно (с учётом унитарности) условию на след матрицы монодромии

 

Несложно показать, что   есть гладкая функция. Отсюда следует зонная структура спектра: для частицы в периодическом потенциале допустимые уровни энергии — это некоторое, обычно бесконечное, множество отрезков на вещественной оси. Для потенциала общего вида спектр не имеет изолированных точек, при малом шевелении потенциала они либо исчезают, либо превращаются в зоны малой ширины. Заметим, что крайние отрезки спектра в принципе могут быть неограничены, при этом все уровни энергии, начиная с некоторого, являются допустимыми, а полное число зон конечно (см. конечнозонное интегрирование). В подобной постановке задача допускает полное и простое решение в тэта-функциях.

k называют квазиимпульсом, по аналогии с волновой функцией   для частицы с определённым импульсом k. Как видно, вся волновая функция определяется величиной k и любым участком функции длиной a.

Аналогично возникают энергетические зоны в решётках более высоких размерностей.

Влияние границПравить

В реальном кристалле число допустимых состояний очень велико. Приводящее к этому дополнительное ограничение на величину квазиимпульса возникает из граничных условий на волновую функцию на поверхности кристалла. При этом вместо непрерывных зон возникают области с плотно расположенными дискретными уровнями энергии (разрешённые зоны) и области, в которых состояний вообще нет (запрещённые зоны). Оценим расстояние между уровнями энергии в разрешённых зонах.

Вместо рассмотрения допустимых уровней энергии (для этого потребовалась бы дополнительная информация, вроде дисперсионного соотношения и точной структуры кристалла) рассмотрим допустимые значения квазиимпульса. При рассмотрении изолированного кристалла обычно рассматриваются периодические граничные условия на волновую функцию. Это предположение оправдано, так как точные граничные условия в реальном кристалле состоят в занулении волновой функции электронов на его границе. Для одномерного кристалла это означает чётность волновой функции (0 находится в центре кристалла). Если же влияние границ на волновую функцию мало́, то приближённо можно забыть про точное значение волновой функции на границе, сохранив лишь свойство симметрии — чётность.

Рассмотрим одномерный кристалл длины  . Граничное условие имеет вид

 

С учётом теоремы Блоха отсюда следует, что

 

Таким образом, расстояние между соседними допустимыми значениями квазиимпульса равно

 

Аналогично в общем случае, для кубической решётки:

 

Модель Кронига — ПенниПравить

 
Периодический потенциал с периодом a и шириной прямоугольной ямы b.

Для упрощения задачи потенциал приближают прямоугольным: используя теорему Блоха. Находят волновую функцию во всём пространстве, но сначала исследуют решение для одного периода, и делают его гладким на краях, то есть «сшивают» значения соседних функций и их производных. Рассмотрим один период потенциала[1]:
У нас есть две независимых области для которых мы найдём решения:

 
 

Для нахождения u(x) в каждой области нужно проделать следующие преобразования:

 
 

Аналогично получим

 

Чтобы найти полное решение нам надо убедиться в гладкости искомой функции на границах:

 

и периодичности u(x) и u'(x)

 

Эти условия дают следующую матрицу:

 

Для существования нетривиального решения необходимо зануление детерминанта этой матрицы. После некоторых преобразований получаем:

 

Для дальнейшего упрощения мы выполним следующие преобразования, смысл которых заключается в переходе к дельта-образным потенциалам (дираковская гребёнка) :

 
 

Тогда конечный ответ будет:

 

Программный кодПравить

Код для MapleПравить

Следующий программный код написан на языке Maple (9.5). Представляет собой просто графическое решение  .

  restart;
  with(plots):
  with(stats[statplots]):
  eq:=cos(k*a)=cos(beta*b)*cos(alpha*(a-b)) - (alpha^2+beta^2)/(2*alpha*beta)*sin(beta*b)*sin(alpha*(a-b));
  alpha:=sqrt(8*Pi^2*m*(E)*e/h^2):
  beta:=sqrt(8*Pi^2*m*(E+V)*e/h^2):
  e:=1.6*1e-19:
  a:=0.54310*1e-9:
  m:=0.19*9.1*1e-31:
  b:=1/5*a:
  h:=6.6*1e-34:
  k(E,V):=arccos(rhs(evalf(eq)))/a;

  #График
  p:=plot({subs(V=10,k(E,V)),subs(V=10,-k(E,V))},E=-5..50,labels=[ka, E],color=blue):
  xyexchange(p);

  #Анимация, зависимость от глубины ямы
  p:=animate( plot, [{k(E,V),-k(E,V)},E=-10..50, color=blue,labels=[ka, E]], V=0..30 ):
  xyexchange(p);

На рисунках представлены графические решения уравнения ( * ).

 
Линии отвечают разрешённым значениям энергии. Существуют области по энергии, где ни при каких значениях волнового вектора невозможно существование электрона.
 
Линии отвечают разрешённым значениям энергии. Показано движение закона дисперсии в зависимости от глубины потенциальной ямы.

На правом рисунке видно, как при некотором значении потенциальной энергии возможно образование одномерного бесщелевого полупроводника.

Код для ScilabПравить

 
Линии по-прежнему отвечают разрешённым значениям энергии. Синим изображено решение для модели Кронига-Пенни, красным - гребёнки Дирака при тех же значениях V0b

Код ниже является фактически переводом предшествующей программы на язык Scilab, за тем исключением, что иллюстрирует также и случай перехода к гребёнке Дирака.

clear all

global Pi e a m b h

Pi = 3.1415926;

step = 0.1;

e = 1.6 * 1e-19;
a = 0.54310 * 1e-9;
m = 0.19*9.1 * 1e-31;
b = 1/5 * a;
h = 6.6 * 1e-34;

function [alpha, beta] = ab(V,E)
  alpha = sqrt(8*Pi^2*m*(E)*e/h^2);
  beta  = sqrt(8*Pi^2*m*(E+V)*e/h^2);
endfunction

function r=kronigpenney(V, E)
  [alpha, beta] = ab(V,E);
  r = 1/a * acos((cos(beta*b) .* cos(alpha*(a-b)) ) - (alpha.^2+beta.^2) ./ (2*alpha .* beta) .* sin(beta*b) .* sin(alpha*(a-b)));
endfunction

function r=dirac(V,E)
  [alpha, beta] = ab(V,E);
  r = 1/a * acos(cos(alpha * a) - (beta.^2 * b * a) ./ 2 .* sin(alpha*a) ./ (alpha * a));
endfunction

E = [1e-3 : step: 50];

k = kronigpenney(10, E);
plot(k, E, 'b'); plot(-k, E, 'b');

k = dirac(10, E);
plot(k, E, 'r'); plot(-k, E, 'r');

Код для MatlabПравить

Код ниже является переводом предшествующей программы на язык Matlab.

function KronigPenneyM

% clear all
% global Pi e a m b h
Pi = 3.1415926;
step = 0.1;

e = 1.6 * 1e-19;
a = 0.54310 * 1e-9;
m = 0.19*9.1 * 1e-31;
b = 1/5 * a;
h = 6.6 * 1e-34;

E = [0 : step: 50];
N = 3;

hold on; 
k = kronigpenney(N, E);
plot([real(k) NaN, -real(k)], [E NaN E], 'b');

k = dirac(N, E);
plot([real(k) NaN, -real(k)], [E NaN E], 'r');

function [alpha, beta] = ab(V,E)
  alpha = sqrt(8*Pi^2*m*(E)*e/h^2);
  beta  = sqrt(8*Pi^2*m*(E+V)*e/h^2);
end

function r=kronigpenney(V, E)
  [alpha, beta] = ab(V,E);
  r = 1/a * acos((cos(beta*b) .* cos(alpha*(a-b)) ) - (alpha.^2+beta.^2) / (2*alpha .* beta) .* sin(beta*b) .* sin(alpha*(a-b)));
end

function r=dirac(V,E)
  [alpha, beta] = ab(V,E);
  r = 1/a * acos(cos(alpha * a) - (beta.^2 * b * a) / 2 .* sin(alpha*a) / (alpha * a));
end
end

СсылкиПравить

  • Задачи по квантовой механике. Часть 1. Галицкий, Карнаков, Коган.
  • 1-D periodic potential applet

ПримечанияПравить

  1. R. de L. Kronig and W. G. Penney. Квантовая механика электронов в кристаллических решётках // Proc. R. Soc. Lond. A. — 1931. — Т. 130. — С. 499—513. — DOI:10.1098/rspa.1931.0019.

См. такжеПравить