Статистика Ферми — Дирака

Статистика Фе́рми — Дира́ка — квантовая статистика, применяемая к системам тождественных фермионов (частиц с полуцелым спином, подчиняющихся принципу Паули: одно квантовое состояние не может быть занято более чем одной частицей). Определяет вероятность, с которой данный энергетический уровень системы, находящейся в термодинамическом равновесии, оказывается занятым фермионом.

В статистике Ферми — Дирака среднее число частиц с энергией есть

,

где кратность вырождения (число состояний частицы с энергией ), химический потенциал (при нуле температуры равен энергии Ферми ), постоянная Больцмана, — абсолютная температура.

В идеальном ферми-газе при низких температурах . В этом случае, если , функция числа (доли) заполнения уровней частицами называется функцией Ферми:

Указанная статистика предложена в 1926 году итальянским физиком Энрико Ферми и одновременно английским физиком Полем Дираком, который выяснил её квантово-механический смысл. В 1927 статистика была применена Арнольдом Зоммерфельдом к электронам в металле.

Свойства статистики Ферми — ДиракаПравить

 
Функция Ферми — Дирака. С ростом температуры ступенька размывается, а заполнение состояний с энергиями выше   растёт.

Функция Ферми — Дирака обладает следующими свойствами:

  • безразмерна;
  • принимает вещественные значения в диапазоне от 0 до 1;
  • убывает с энергией, резко спадая вблизи энергии, равной химическому потенциалу;
  • при абсолютном нуле имеет вид ступеньки со скачком от 1 до 0 при  , а при подъёме температуры скачок заменяется всё более плавным спадом;
  • при   всегда   независимо от температуры.

Математический и физический смыслПравить

Функцией Ферми — Дирака   задаются числа заполнения (англ. occupancy factor) квантовых состояний. Хотя она нередко называется «распределением», с точки зрения аппарата теории вероятностей она не является ни функцией распределения, ни плотностью распределения. В отношении этой функции, скажем, не может ставиться вопрос о нормировке.

Давая информацию о проценте заполненности состояний, функция   ничего не говорит о наличии этих состояний. Для систем с дискретными энергиями набор их возможных значений задаётся перечнем  ,   и т.д., а для систем с непрерывным спектром энергий состояния характеризуются «плотностью состояний»   (Дж-1 или Дж-1м-3). Функция

 

является плотностью распределения (Дж-1) частиц по энергии и нормирована. Для краткости, аргумент   опущен. В наиболее традиционных случаях  .

Классический (максвелловский) пределПравить

При высоких температурах и/или низких концентрациях частиц статистика Ферми — Дирака (равно как и статистика Бозе — Эйнштейна) переходят в статистику Максвелла — Больцмана. А именно, в таких условиях

 .

После подстановки плотности состояний   и интегрирования по   от 0 до   выражение для   примет вид

 .

Это и есть плотность распределения Максвелла (по энергиям).

Распределением Максвелла (особенно хорошо работающим применительно к газам) описываются классические «различимые» частицы. Другими словами, конфигурации «частица   в состоянии 1 и частица   в состоянии 2» и «частица   в состоянии 1 и частица   в состоянии 2» считаются разными.

Применение статистики Ферми — ДиракаПравить

Характеристика сферы примененияПравить

Статистики Ферми — Дирака, а также Бозе — Эйнштейна применяются в тех случаях, когда необходимо учитывать квантовые эффекты и «неразличимость» частиц. В парадигме различимости оказалось, что распределение частиц по энергетическим состояниям приводит к нефизическим результатам для энтропии, что известно как парадокс Гиббса. Эта проблема исчезла, когда стал ясен тот факт, что все частицы неразличимы.

Статистика Ферми — Дирака относится к фермионам (частицы, на которые действует принцип Паули), а статистика Бозе — Эйнштейна — к бозонам. Квантовые эффекты проявляются тогда, когда концентрация частиц   (где   — число частиц,   — объём,   — квантовая концентрация). Квантовой называется концентрация, при которой расстояние между частицами соразмерно с длиной волны де Бройля, то есть волновые функции частиц соприкасаются, но не перекрываются. Квантовая концентрация зависит от температуры.

Конкретные примерыПравить

Статистика Ферми — Дирака часто используется для описания поведения ансамбля электронов в твёрдых телах; на ней базируются многие положения теории полупроводников и электроники в целом. Например, концентрация электронов (дырок) в зоне проводимости (валентной зоне) полупроводника в равновесии рассчитывается как

 ,

где   ( ) — энергия дна зоны проводимости (потолка валентной зоны). Формула для туннельного тока между двумя областями, разделёнными квантовым потенциальным барьером, имеет общий вид

 ,

где  коэффициент прозрачности барьера, а  ,   — функции Ферми — Дирака в областях слева и справа от барьера.

Вывод распределения Ферми — ДиракаПравить

Рассмотрим состояние частицы в системе, состоящей из множества частиц. Пусть энергия такой частицы равна  . Например, если наша система — это некий квантовый газ в «ящике», то подобное состояние может описываться частной волновой функцией. Известно, что для большого канонического ансамбля, функция распределения имеет вид

 

где   — энергия состояния  ,   — число частиц, находящихся в состоянии  ,  химический потенциал,   — индекс, пробегающий все возможные микросостояния системы.

В данном контексте система имеет фиксированные состояния. Если какое либо состояние занято   частицами, то энергия системы —  . Если состояние свободно, энергия имеет значение 0. Будем рассматривать равновесные одночастичные состояния как резервуар. После того, как система и резервуар займут одно и то же физическое пространство, начинает происходить обмен частицами между двумя состояниями (фактически, это явление мы и исследуем). Отсюда становится ясно, почему используется описанная выше функция распределения, которая, через химический потенциал, учитывает поток частиц между системой и резервуаром.

Для фермионов, каждое состояние может быть либо занято одной частицей, либо свободно. Поэтому, наша система имеет два множества: занятых (разумеется, одной частицей) и незанятых состояний, обозначающихся   и   соответственно. Видно, что  ,  , и  ,  . Поэтому функция распределения принимает вид:

 

Для большого канонического ансамбля, вероятность того, что система находится в микросостоянии   вычисляется по формуле

 

Наличие состояния, занятого частицей, означает, что система находится в микросостоянии  , вероятность которого

 

  называется распределением Ферми — Дирака. Для фиксированной температуры  ,   есть вероятность того, что состояние с энергией   будет занято фермионом.

Учтём, что энергетический уровень   имеет вырождение  . Теперь можно произвести простую модификацию:

 

Здесь   — ожидаемая доля частиц во всех состояниях с энергией  .

Уточнение влияния температурыПравить

Для систем, имеющих температуру   ниже температуры Ферми  , а иногда (не вполне правомерно) и для более высоких температур используется аппроксимация  . Но в общем случае химический потенциал зависит от температуры — и в ряде задач эту зависимость целесообразно учитывать. Функция   представляется с любой точностью степенным рядом по чётным степеням отношения  :

 .

См. такжеПравить