«Щёлк»[1]:407 (от англ. Chomp) — математическая игра[en], заключающаяся в поедании двумя игроками плитки шоколада по определённым правилам. Современная геометрическая формулировка была придумана Дэвидом Гейлом в 1974 году, а более ранняя арифметическая — Фредериком Шухом[en] в 1952 году. Англоязычное название Chomp — буквально «Чавк» (от «чавкать») — придумал Мартин Гарднер.

Плитка шоколада 7 × 4 — один из вариантов поля для игры в Щёлк

Геометрическая версияПравить

Поле игры «Щёлк» — прямоугольная плитка шоколада; двое игроков по очереди выбирают одну дольку и съедают вместе со всеми дольками выше и правее её[2]. Проигрывает тот игрок, который съедает «отравленную» левую нижнюю дольку[3][1]:407.

Ниже приведён пример игры на поле 5 × 3: «отравленная» долька отмечена красным, а съедаемые игроком дольки — пунктиром.

Начало игры Первый игрок Второй игрок Первый игрок Второй игрок
                    
                       
                                 

В этом примере первый игрок вынужден съесть «отравленную» дольку и потому проигрывает.

Арифметическая версияПравить

 
Поле для случая   (другая версия — верх и низ отражены).

Игру «Щёлк» можно переформулировать арифметически: изначально загадано натуральное число  ; двое игроков по очереди называют делители   числа  , которые не являются кратными уже названных  . Проигрывает игрок, вынужденный назвать число 1[4].

Для чисел   с факторизацией  , то есть имеющих только два простых делителя, арифметическая версия сводится к геометрической в прямоугольнике (k+1) × (l+1). При этом делителям соответствуют дольки, запрещённым делителям — съеденные дольки, числу 1 — «отравленная» долька, см. таблицу ниже.

9 18 36 72 144
3 6 12 24 48
1 2 4 8 16

Анализ игрыПравить

С точки зрения теории игр, «Щёлк» — беспристрастная детерминированная игра с полной информацией. Кроме того, в игре конечное число состояний, а потому из общих утверждений теории игр следует, что у одного из игроков должна быть выигрышная стратегия.

Заимствование стратегии позволяет показать, что выигрышная стратегия есть у первого игрока (кроме случая поля 1 × 1), однако доказательство неконструктивно. А именно, пусть у второго игрока существует выигрышная стратегия; докажем, что у первого игрока она также есть. Предположим, что первым ходом первый игрок съел только правую верхнюю дольку[5], и рассмотрел ход второго игрока, ведущий к выигрышной стратегии[6]; тогда первый игрок может сам походить так своим первым ходом, тем самым «позаимствовав» стратегию второго игрока. Значит, у второго игрока не может быть выигрышной стратегии, а потому она есть у первого[1]:410.

По состоянию на 1974 год известны выигрышные стратегии первого только для частных форм поля[1]:408:

  1. Поле квадратно. Первым ходом первый игрок должен откусить квадрат со стороной на один меньше; останутся две полоски шириной 1, соединённые по одной дольке в форме перевёрнутой буквы «Г». Далее первый игрок должен симметрично повторять ходы второго[1]:408.
  2. Поле имеет форму 2 × n. Первым ходом первый игрок должен откусить правую верхнюю дольку. Далее после каждого хода второго игрока он должен восстанавливать ситуацию, чтобы в нижней строке было на одну дольку меньше[1]:410.

Также на компьютере найдены выигрышные стратегии для небольших размеров поля. Наименьший известный размер поля, для которого выигрышная стратегия не единственна — (8, 10)[7].

ПримечанияПравить

  1. 1 2 3 4 5 6 Гарднер М. Математические новеллы. Пер. с англ. Ю. А. Данилова. Под ред. Я. А. Смородинского. M., «Мир», 1974. 456 с. с илл.; стр. 407—412
  2. В другой версии — ниже и правее.
  3. В другой версии, соответственно, — левую верхнюю.
  4. Winning ways for your mathematical plays, Volume 3 (2nd edn), by E. R. Berlekamp, J. H. Conway and R. K. Guy. Pp. 275. 2018. ISBN 9780429945618. CRC Press, 2018. Стр. 39
  5. Дольку, противоположную «отравленной»; в другой версии — правую нижнюю.
  6. За исключением случая, когда поле имеет вид 1 × 1 и второй игрок не ходит, потому что первый уже проиграл.
  7. Elwyn R. Berlekamp et al.: Gewinnen — Strategien für mathematische Spiele, Band 3. Vieweg, Braunschweig/Wiesbaden 1986, ISBN 3-528-08533-9, S. 172f

СсылкиПравить

  • Chomp — разная информация об игре (англ.)