3j-символ

3j-символ Вигнера, называемый также 3jm-символом, — вещественная функция шести переменных (как правило, целых или полуцелых чисел). Находят применение в квантовой механике для сложения угловых моментов и связаны с коэффициентами Клебша — Гордана следующими формулами:

${\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\m_{1}&m_{2}&m_{3}\end{pmatrix}}\equiv {\frac {(-1)^{j_{1}-j_{2}-m_{3}}}{\sqrt {2j_{3}+1}}}\langle j_{1}m_{1}j_{2}m_{2}|j_{3}(-m_{3})j_{1}j_{2}\rangle .$

3j-символы являются коэффициентами, с которыми состояние $|0\,0\rangle$ раскладывается в виде трилинейной формы трёх угловых моментов:

$\sum _{m_{1}=-j_{1}}^{j_{1}}\sum _{m_{2}=-j_{2}}^{j_{2}}\sum _{m_{3}=-j_{3}}^{j_{3}}{\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\m_{1}&m_{2}&m_{3}\end{pmatrix}}|j_{1}m_{1}\rangle |j_{2}m_{2}\rangle |j_{3}m_{3}\rangle =|0\,0\rangle .$

Обратная связь

Обратная связь между коэффициентами Клебша — Гордана и 3j-символами может быть найдена следующим образом: замечая, что j₁ − j₂ − m₃ является целым числом, и делая подстановку $m_{3}\rightarrow -m_{3}$, получим:

$\langle j_{1}m_{1}j_{2}m_{2}|j_{3}m_{3}j_{1}j_{2}\rangle =(-1)^{j_{1}-j_{2}+m_{3}}{\sqrt {2j_{3}+1}}{\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\m_{1}&m_{2}&-m_{3}\end{pmatrix}}.$

Симметрия

Симметрия 3j-символов выражается более удобно, чем у коэффициентов Клебша — Гордана. 3j-символ инвариантен при чётной перестановке его столбцов:

${\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\m_{1}&m_{2}&m_{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}j_{2}&j_{3}&j_{1}\\m_{2}&m_{3}&m_{1}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}j_{3}&j_{1}&j_{2}\\m_{3}&m_{1}&m_{2}\end{pmatrix}}.$

Нечётная перестановка столбцов приводит к домножению на фазовый фактор:

${\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\m_{1}&m_{2}&m_{3}\end{pmatrix}}=(-1)^{j_{1}+j_{2}+j_{3}}{\begin{pmatrix}j_{2}&j_{1}&j_{3}\\m_{2}&m_{1}&m_{3}\end{pmatrix}}=(-1)^{j_{1}+j_{2}+j_{3}}{\begin{pmatrix}j_{1}&j_{3}&j_{2}\\m_{1}&m_{3}&m_{2}\end{pmatrix}}.$

Замена знака квантовых чисел $m$ также даёт дополнительную фазу:

${\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\-m_{1}&-m_{2}&-m_{3}\end{pmatrix}}=(-1)^{j_{1}+j_{2}+j_{3}}{\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\m_{1}&m_{2}&m_{3}\end{pmatrix}}.$

Правила отбора

3j-символ Вигнера не равен нулю только при одновременном выполнении всех следующих условий:

$m_{1}+m_{2}+m_{3}=0,$

$j_{1}+j_{2}+j_{3}$ — целое,

$|m_{i}|\leqslant j_{i},$

$|j_{1}-j_{2}|\leqslant j_{3}\leqslant j_{1}+j_{2}.$

Скалярная инвариантность

Свёртка произведения трёх вращательных состояний с 3j-символами

$\sum _{m_{1}=-j_{1}}^{j_{1}}\sum _{m_{2}=-j_{2}}^{j_{2}}\sum _{m_{3}=-j_{3}}^{j_{3}}{\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\m_{1}&m_{2}&m_{3}\end{pmatrix}}|j_{1}m_{1}\rangle |j_{2}m_{2}\rangle |j_{3}m_{3}\rangle$

инвариантна при вращениях. Это очевидный факт, поскольку указанная сумма равна состоянию с нулевым моментом $|0\,0\rangle$, которое сферически симметрично.

Ортогональность

3j-символы удовлетворяют следующим свойствам ортогональности:

$(2j+1)\sum _{m_{1}m_{2}}{\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j\\m_{1}&m_{2}&m\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j'\\m_{1}&m_{2}&m'\end{pmatrix}}=\delta _{jj'}\delta _{mm'},$

$\sum _{jm}(2j+1){\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j\\m_{1}&m_{2}&m\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j\\m_{1}'&m_{2}'&m\end{pmatrix}}=\delta _{m_{1}m_{1}'}\delta _{m_{2}m_{2}'}.$

Связь со сферическими гармониками

Через 3j-символы выражаются интегралы от произведения трёх сферических гармоник:

$\int Y_{l_{1}m_{1}}(\theta ,\varphi )Y_{l_{2}m_{2}}(\theta ,\varphi )Y_{l_{3}m_{3}}(\theta ,\varphi )\,\sin \theta \,d\theta \,d\varphi ={\sqrt {\frac {(2l_{1}+1)(2l_{2}+1)(2l_{3}+1)}{4\pi }}}{\begin{pmatrix}l_{1}&l_{2}&l_{3}\\0&0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}l_{1}&l_{2}&l_{3}\\m_{1}&m_{2}&m_{3}\end{pmatrix}},$

где $l_{1}$, $l_{2}$ и $l_{3}$ являются целыми числами.

Связь с интегралами от сферических гармоник со спиновыми весами

$\int d{\mathbf {\hat {n}} }{}_{s_{1}}Y_{j_{1}m_{1}}({\mathbf {\hat {n}} }){}_{s_{2}}Y_{j_{2}m_{2}}({\mathbf {\hat {n}} }){}_{s_{3}}Y_{j_{3}m_{3}}({\mathbf {\hat {n}} })=(-1)^{m_{1}+s_{1}}{\sqrt {\frac {(2j_{1}+1)(2j_{2}+1)(2j_{3}+1)}{4\pi }}}{\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\m_{1}&m_{2}&m_{3}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\-s_{1}&-s_{2}&-s_{3}\end{pmatrix}}.$

Выражение в явном виде

${\begin{aligned}{\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\m_{1}&m_{2}&m_{3}\end{pmatrix}}&\equiv \delta (m_{1}+m_{2}+m_{3},0)(-1)^{j_{1}-j_{2}-m_{3}}{}{\sqrt {\frac {(j_{1}+j_{2}-j_{3})!(j_{1}-j_{2}+j_{3})!(-j_{1}+j_{2}+j_{3})!}{(j_{1}+j_{2}+j_{3}+1)!}}}\ \times {}\\[6pt]&\times {\sqrt {(j_{1}-m_{1})!(j_{1}+m_{1})!(j_{2}-m_{2})!(j_{2}+m_{2})!(j_{3}-m_{3})!(j_{3}+m_{3})!}}\ \times {}\\[6pt]&\times \sum _{k=K}^{N}{\frac {(-1)^{k}}{k!(j_{1}+j_{2}-j_{3}-k)!(j_{1}-m_{1}-k)!(j_{2}+m_{2}-k)!(j_{3}-j_{2}+m_{1}+k)!(j_{3}-j_{1}-m_{2}+k)!}}.\end{aligned}}$

Суммирование выполняется по тем целым значениям k, для которых аргумент каждого факториала в знаменателе неотрицателен, т.е. пределы суммирования K и N принимаются равными: нижний $K=\max(0,j_{2}-j_{3}-m_{1},j_{1}-j_{3}+m_{1}),$ верхний $N=\min(j_{1}+j_{2}-j_{3},j_{1}-m_{1},j_{2}+m_{2}).$ Факториалы отрицательных чисел условно принимаются равными нулю, так что значения 3j-символа при, например, $j_{3}>j_{1}+j_{2}$ или $j_{1}<m_{1}$ автоматически обнуляются.

Прочие свойства

$\sum _{m}(-1)^{j+m}{\begin{pmatrix}j&j&J\\m&-m&0\end{pmatrix}}={\sqrt {\frac {2j+1}{2J+1}}}\delta _{J0}.$

${\frac {1}{2}}\int _{-1}^{1}dxP_{l_{1}}(x)P_{l_{2}}(x)P_{l}(x)={\begin{pmatrix}l&l_{1}&l_{2}\\0&0&0\end{pmatrix}}^{2}.$

См. также

• Коэффициенты Клебша — Гордана
• 6j-символ
• 9j-символ
• 12j-символ
• 15j-символ

Литература

• Собельман И. И. Введение в теорию атомных спектров (рус.). — М.: Физматгиз, 1963.
• Biedenharn L. C., Louck J. D. Angular Momentum in Quantum Physics. In: Vol. 8 of Encyclopedia of Mathematics, Addison-Wesley, Reading, 1981.
• Brink D. M., Satchler G. R. Angular Momentum. 3rd edition, Clarendon, Oxford, 1993.
• Edmonds A. R. Angular Momentum in Quantum Mechanics. 2nd edition, Princeton University Press, Princeton, 1960.
• Варшалович Д. А., Москалёв А. Н., Херсонский В. К. Квантовая теория углового момента (рус.). — Л.: Наука, 1975.
• Wigner E. P. On the Matrices Which Reduce the Kronecker Products of Representations of Simply Reducible Groups. Unpublished (1940). Reprinted in: Biedenharn L. C., van Dam H. Quantum Theory of Angular Momentum. New York: Academic Press, 1965.

Ссылки

• Вычислитель коэффициентов Вигнера от Антони Стоуна (даёт точный ответ)
• Онлайн-калькулятор коэффициентов Клебша — Гордана, 3j и 6j-символов (численно)
• калькулятор 369j-символов Лаборатории плазмы института имени Вайцмана (численно)
• WIGXJPF расчёт 3j 6j 9j символов C++ и Python (точный ответ через факторизацию и многобайтные целые числа)