Доказательство от противного

(перенаправлено с «Contradictio in contrarium»)

Доказательство «от противного» (лат. contradictio in contrarium) в математике — один из самых часто используемых методов доказательства утверждений. Доказательство от противного — вид доказательства, при котором «доказывание» некоторого суждения (тезиса доказательства) осуществляется через опровержение отрицания этого суждения — антитезиса. Этот способ доказательства основывается на истинности закона двойного отрицания в классической логике.

Схема доказательстваПравить

Доказательство утверждения   проводится следующим образом. Сначала принимают предположение, что утверждение   неверно, а затем доказывают, что при таком предположении было бы верно некоторое утверждение  , которое заведомо неверно.

Из определения импликации следует, что, если   ложно, то формула   истинна тогда и только тогда, когда   ложно, следовательно утверждение   истинно.

Полученное противоречие показывает, что исходное предположение было неверным, и поэтому верно утверждение  , которое по закону двойного отрицания равносильно утверждению  .

В интуиционистской логике закон исключённого третьего не действует, поэтому такие доказательства в ней не принимаются.

ПримерПравить

Доказательство иррациональности числа  .

Допустим противное:   рационален, то есть представляется в виде несократимой дроби  , где   — целое число, а   — натуральное. Возведём предполагаемое равенство в квадрат:

     , откуда  .

Отсюда следует, что   чётно, значит, чётно и  ; следовательно,   делится на 4, а значит,   и   тоже чётны. Полученное утверждение противоречит несократимости дроби  . Значит, исходное предположение было неверным, и   — иррациональное число.

Другие примеры

Врач, убеждая пациента в том, что тот не болен гриппом, может рассуждать следующим образом: «Если бы вы действительно были больны гриппом, то у вас была бы повышена температура, был заложен нос и т. д. Но ничего этого нет. Следовательно, нет и гриппа».

См. такжеПравить