Доказательство от противного

(перенаправлено с «Contradictio in contrarium»)

Доказательство «от противного» (лат. contradictio in contrarium), или апагогическое косвенное доказательство[1], — вид доказательства, при котором «доказывание» некоторого суждения (тезиса доказательства) осуществляется через опровержение отрицания этого суждения — антитезиса[2]. Этот способ доказательства основывается на истинности закона двойного отрицания в классической логике.

Этот способ очень важен для математики, где существует много суждений, которые не могут быть доказаны по-другому[3].

Схема доказательства

править

Доказательство утверждения   проводится следующим образом. Сначала принимают предположение, что утверждение   неверно, а затем доказывают, что при таком предположении было бы верно некоторое утверждение  , которое заведомо неверно.

Из определения импликации следует, что, если   ложно, то формула   истинна тогда и только тогда, когда   ложно, следовательно утверждение   истинно.

Полученное противоречие показывает, что исходное предположение было неверным, и поэтому верно утверждение  , которое по закону двойного отрицания равносильно утверждению  .

В интуиционистской логике доказательство от противного не принимается, так же как не действует закон исключённого третьего[1].

Примеры

править

В математике

править
Доказательство иррациональности числа  .

Допустим противное: число   рационально, то есть представляется в виде несократимой дроби  , где   — целое число, а   — натуральное. Возведём предполагаемое равенство в квадрат:

     , откуда  .

Отсюда следует, что   чётно, значит, чётно и  ; следовательно,   делится на 4, а значит,   и   тоже чётны. Полученное утверждение противоречит несократимости дроби  . Значит, исходное предположение было неверным, и   — иррациональное число.

В повседневной жизни

править

Врач, разъясняя пациенту что тот не болен гриппом, может использовать такие рассуждения: «Если бы вы действительно были больны гриппом, то у вас была бы повышена температура, был заложен нос и т. д. Но всё это у вас отсутствует, значит, нет и гриппа»[3].

См. также

править

Примечания

править
  1. 1 2 Косвенное доказательство//Философия: Энциклопедический словарь. — М.: Гардарики. Под редакцией А. А. Ивина. 2004.
  2. Доказательство от противного//Философия: Энциклопедический словарь. — М.: Гардарики. Под редакцией А. А. Ивина. 2004.
  3. 1 2 Доказательство от противного // Большая советская энциклопедия : [в 30 т.] / гл. ред. А. М. Прохоров. — 3-е изд. — М. : Советская энциклопедия, 1969—1978.