В термодинамике и кинетической теории, -теорема, полученная Больцманом в 1872 году, описывает неубывание энтропии идеального газа в необратимых процессах, исходя из уравнения Больцмана.

На первый взгляд может показаться, что она описывает необратимое возрастание энтропии исходя из микроскопических обратимых уравнений динамики. В своё время этот результат вызвал бурные споры.

ФормулировкаПравить

При временно́й эволюции к равновесному состоянию энтропия внешне замкнутой системы возрастает и остается неизменной при достижении равновесного состояния[1].

H-теоремаПравить

Величина   определяется как интеграл по пространству скоростей:

 

где   — вероятность.

Используя уравнение Больцмана, можно показать, что   не может возрастать.

Для системы из   статистически независимых частиц,   соотносится с термодинамической энтропией   посредством:

 

таким образом, согласно  -теореме,   не может убывать.

Однако Лошмидт выдвинул возражение, что невозможно вывести необратимый процесс из симметричных во времени уравнений динамики. Решение парадокса Лошмидта заключается в том, что уравнение Больцмана основано на предположении «молекулярного хаоса», то есть для описания системы достаточно одночастичной функции распределения. Это допущение по сути и нарушает симметрию во времени.

ФормулировкаПравить

 , где  ,  ,   - любая функция, удовлетворяющая уравнению Больцмана[2]

 

ДоказательствоПравить

Доказательство следует из неравенства Больцмана  , где   - любая функция, удовлетворяющая уравнению Больцмана,   - интеграл столкновений. Для доказательства умножаем обе части уравнения Больцмана на   и интегрируем по всем возможным скоростям  . При этом используется, что  , неравенство Больцмана  ,   - инвариант столкновений, обращение   в нуль при стремлении скорости к бесконечности[2].

См. такжеПравить

ПримечанияПравить

ЛитератураПравить

  • Черчиньяни К. Теория и приложения уравнения Больцмана. — М.: Мир, 1978. — 495 с.
  • Климонтович Ю. Л. Введение в физику открытых систем. — М.: Янус-К, 2002. — 284 с. — ISBN 5-8037-0101-7.