Теория Янга — Миллса с четырьмя суперсимметриями

(перенаправлено с «N=4 суперсимметричная теория Янга — Миллса»)

Теория Янга — Миллса с четырьмя суперсимметриями (также N = 4 суперсимметричная теория Янга — Миллса) — математическая и физическая модель, созданная для изучения частиц с помощью простой системы, подобной теории струн, с конформной симметрией. Это упрощённая игрушечная теория, основанная на теории Янга — Миллса, которая не описывает реальный мир, но полезна, поскольку она может служить испытательным полигоном для подходов к решению проблем в более сложных теориях[1]. Она описывает вселенную, содержащую бозонные поля и фермионные поля, связанные 4 суперсимметриями (это означает, что обмен бозонными, фермионными и скалярными полями определённым образом оставляет предсказания теории инвариантными). Это одна из самых простых (потому что она не имеет свободных параметров, кроме калибровочной группы) и одна из немногих конечных квантовых теорий поля в четырёх измерениях. Её можно считать самой симметричной теорией поля, которая не связана с гравитацией.

Лагранжиан

править

Лагранжиан для теории[2]

 

где   и индексы i, j = 1, …, 6, а также a, b = 1, …, 4.   представляет структурные константы определённой калибровочной группы.   представляет структурные константы группы R-симметрии SU(4), которая вращает 4 суперсимметрии. Как следствие теорем о неперенормировке, эта суперсимметричная теория поля фактически является суперконформной теорией поля .

Десятимерный лагранжиан

править

Вышеуказанный лагранжиан можно найти, начав с более простого десятимерного лагранжиана

 

где I и J пробегают значения от 0 до 9 и   являются 32 на 32 гамма-матрицами   с последующим добавлением члена с   который является топологическим членом.

Компоненты   калибровочного поля для i от 4 до 9 становятся скалярами после устранения лишних измерений. Это также даёт интерпретацию SO(6) R-симметрии как поворотов в сверхкомпактных измерениях.

Путём компактификации на Т6 все суперзаряды сохраняются, давая N = 4 в 4-мерной теории.

Интерпретация теории струн типа IIB — это мировая теория стека D3-бран.

S-дуальность

править

Константы связи   и   естественно спариваются в форме:

 

Теория имеет симметрию, которая сдвигает   по целым числам. Гипотеза S-дуальности говорит, что есть также симметрия, которая посылает :  а также переключает группу   к её двойственной группе Ленглендса .

AdS/CFT-соответствие

править

Эта теория важна и в контексте голографического принципа. Существует двойственность между теорией струн типа IIB в пространстве AdS5 × S5 (произведение 5-мерного пространства AdS с 5-мерной сферой) и N = 4 суперсимметричной теорией Янга — Миллса на 4-мерной границе AdS5. Однако эта конкретная реализация AdS/CFT-соответствия не является реалистичной моделью гравитации, поскольку гравитация в нашей вселенной является 4-мерной. Несмотря на это, AdS/CFT-соответствие является наиболее успешной реализацией голографического принципа, спекулятивной идеи о квантовой гравитации, первоначально предложенной Герардом 'т Хоофтом, которая расширяла работу по термодинамике чёрных дыр, и была улучшена и продвинута в контексте теории струн Леонардом Сасскиндом .

Интегрируемость

править

Существует доказательство того, что N = 4 суперсимметричная теория Янга — Миллса имеет интегрируемую структуру в плоском пределе больших N[3]. Поскольку количество цветов (также обозначаемое N) становится бесконечным, амплитуды масштабируются как  , так что выживает только вклад рода 0 (планарный граф). Планарная теория Янга — Миллса — это теория с очень большим (бесконечным) количеством цветов.

Планарный предел — это предел, в котором амплитуды рассеяния преобладают на диаграммах Фейнмана, которым можно придать структуру планарных графов[4].

Beisert и соавт. дали обзорную статью, демонстрирующую, как в этой ситуации локальные операторы могут быть выражены через определённые состояния в «спиновых» цепочках, но на основе больших супералгебр Ли, а не SU(2) для обычного спина. Они поддаются техникам подстановки Бете. Они также строят действие ассоциированного янгиана на амплитуды рассеяния[5].

Нима Аркани-Хамед и соавт. также исследовали эту тему. Используя теорию твисторов, они находят описание (формализм амплитуэдра) в терминах позитивного грассманиана[6].

Отношение к 11-мерной М-теории

править

N = 4 суперсимметричная теория Янга — Миллса может быть получена из более простой 10-мерной теории, и всё же супергравитация и М-теория существуют в 11 измерениях. Связь заключается в том, что если калибровочная группа U(N) SYM становится бесконечной как  , она становится эквивалентной 11-мерной теории, известной как матричная теория.

См. также

править

Примечания

править
  1. Matt von Hippel. Earning a PhD by studying a theory that we know is wrong. Ars Technica (21 мая 2013). Дата обращения: 6 января 2020. Архивировано 28 января 2021 года.
  2. Luke Wassink. N = 4 Super Yang–Mills theory. Дата обращения: 22 мая 2013. Архивировано 31 мая 2014 года.
  3. Martin Ammon, Johanna Erdmenger, Gauge/Gravity Duality: Foundations and Applications, Cambridge University Press, 2015, p. 240.
  4. planar limit in nLab. Дата обращения: 6 января 2020. Архивировано 1 октября 2020 года.
  5. Beisert, Niklas. Review of AdS/CFT Integrability: An Overview (англ.) // Letters in Mathematical Physics[англ.] : journal. — 2012. — January (vol. 99). — P. 425. — doi:10.1007/s11005-011-0516-7. — Bibcode2012LMaPh..99..425K. — arXiv:1012.4000.
  6. Nima Arkani-Hamed; Bourjaily, Jacob L.; Freddy Cachazo; Goncharov, Alexander B.; Alexander Postnikov; Jaroslav Trnka (2012). "Scattering Amplitudes and the Positive Grassmannian". arXiv:1212.5605 [hep-th].

Ссылки

править