P-матрица

В Математика P-матрица - это комплексная Квадратная матрица, для которой каждый главный Минор (линейная алгебра) положителен. С тесно связанным классом являются $P_{0}$-матрицы, которые являются замыканием класса P-матриц, с каждым главным минором $\geq$ 0.

Спектры P-матриц

По теореме Келлогга, Собственные значения из P- и $P_{0}$- матрицы ограничены от клина относительно отрицательной вещественной оси следующим образом:

Если$\{u_{1},...,u_{n}\}$ являются собственными значениями n-мерной P-матрицы, где $n>1$, тогда

$|\arg(u_{i})|<\pi -{\frac {\pi }{n}},\ i=1,...,n$

Если $\{u_{1},...,u_{n}\}$, $u_{i}\neq 0$, $i=1,...,n$ являются собственными значениями n-мерного $P_{0}$-матрица, тогда

$|\arg(u_{i})|\leq \pi -{\frac {\pi }{n}},\ i=1,...,n$>

Примечания

Класс неособых M-матрица является подмножеством класса P-матриц. Более точно, все матрицы, которые одновременно являются P-матрицами и Z-матрица (математика), являются неособыми M-матрицами. Класс достаточных матриц является еще одним обобщением P-матриц.

Линейная задача о дополнительности $\mathrm {LCP} (M,q)$ имеет уникальное решение для каждого вектора q тогда и только тогда, когда M является P-матрицей. Это означает, что если M является P-матрицей, то M является Q-матрицей.

Если Матрица Якоби функции является P-матрицей, то функция инъективна в любой прямоугольной области $\mathbb {R} ^{n}$.

Связанный класс, который представляет интерес, особенно с точки зрения стабильности, это класс $P^{(-)}$-матриц, иногда также называемых $N-P$-матрицами. Матрица A является $P^{(-)}$-матрицей тогда и только тогда, когда $(-A)$ является P-матрицей (аналогично для $P_{0}$-матриц). Поскольку $\sigma (A)=-\sigma (-A)$, собственные значения этих матриц ограничены от положительной вещественной оси.

Литература

• Csizmadia, Zsolt; Illés, Tibor (2006). "New criss-cross type algorithms for linear complementarity problems with sufficient matrices" (pdf). Optimization Methods and Software. 21 (2): 247—266. doi:10.1080/10556780500095009. MR 2195759.
• David Gale and Hukukane Nikaido, The Jacobian matrix and global univalence of mappings, Math. Ann. 159:81-93 (1965) doi:10.1007/BF01360282
• Li Fang, On the Spectra of P- and $P_{0}$-Matrices, Linear Algebra and its Applications 119:1-25 (1989)
• R. B. Kellogg, On complex eigenvalues of M and P matrices, Numer. Math. 19:170-175 (1972)