R-матрица

Термин R-матрица используется в связи с уравнением Янга-Бакстера. Это уравнение, впервые введенное в области статистической механики, получило свое название от независимой работы С. Н. Янга и Р. Дж. Бакстера. Классическая R-матрица возникает в определении классического уравнения Янга–Бакстера.

Определение

Пусть $V$- векторное пространство над полем $k$. Линейный автоморфизм $c$пространства $V\otimes V$ называется R-матрицей, если он удовлетворяет уравнению Янга-Бакстера: $(c\otimes {\text{id}}_{V})({\text{id}}_{V}\otimes c)(c\otimes {\text{id}}_{V})=({\text{id}}_{V}\otimes c)(c\otimes {\text{id}}_{V})({\text{id}}_{V}\otimes c)$, которое рассматривается как соотношение в группе автоморфизмов пространства $V\otimes V\otimes V$.

Пример

1. Пусть $V$ — конечномерное векторное пространство над полем $k$ с базисом $\{e_{1},...,e_{N}\}$, $p,q$ — обратимые скаляры, $\{r_{ij}\}_{1\leq i,j\leq N}$ — семейство элементов поля $k$, т.ч. $r_{ii}=q$ и $r_{ij}r_{ji}=p$ для $i\neq j$ , $c$ — автоморфизм, задающийся на базисе пространства $V\otimes V$ формулами: $c(e_{i}\otimes e_{i})=qe_{i}\otimes e_{i},$ $c(e_{i}\otimes e_{j})={\begin{cases}r_{ji}e_{j}\otimes e_{i},&i<j\\r_{ji}e_{j}\otimes e_{i}+(q-pq^{-1})e_{i}\otimes e_{j},&i>j\end{cases}}$. Автоморфизм $c$ является решением уравнения Янга-Бакстера.