t-структура

t-структура — понятие, аксиоматизирующее свойства абелевых подкатегорий производной категории. t-структура на триангулированной категории ${\mathcal {D}}$ состоит из двух подкатегорий $({\mathcal {D}}^{\leq 0},{\mathcal {D}}^{\geq 0})$ в ${\mathcal {D}}$, обобщающих свойства комплексов с зануляющимися когомологиями в положительных, соответственно, в отрицательных степенях. На одной и той же категории могут существовать различные t-структуры, и взаимосвязи между этими структурами используются в алгебре и геометрии. Понятие t-структуры возникло в работах Бейлинсона, Бернштейна, Делиня и Габбера по превратным пучкам.

Определение

Пусть ${\mathcal {D}}$ — триангулированная категория с функтором сдвига $[1]$. t-структура на ${\mathcal {D}}$ — это пара полных подкатегорий $({\mathcal {D}}^{\leq 0},{\mathcal {D}}^{\geq 0})$, замкнутых относительно изоморфизма объектов, которые удовлетворяют следующим трём аксиомам.

1. Если X — объект ${\mathcal {D}}^{\leq 0}$, а Y — объект ${\mathcal {D}}^{\geq 0}$, то $\operatorname {Hom} _{\mathcal {D}}(X,Y[-1])=0.$
2. Если X — объект ${\mathcal {D}}^{\leq 0}$, то X[1] — также объект ${\mathcal {D}}^{\leq 0}$. Аналогично, если Y — объект ${\mathcal {D}}^{\geq 0}$, то Y[-1] — также объект ${\mathcal {D}}^{\geq 0}$.
3. Если A — объект ${\mathcal {D}}$, то существует выделенный треугольник $X\to A\to Y[-1]\to X[1]$, в котором X — объект ${\mathcal {D}}^{\leq 0}$, а Y — объект ${\mathcal {D}}^{\geq 0}$.

Можно показать, что подкатегории ${\mathcal {D}}^{\leq 0}$ и ${\mathcal {D}}^{\geq 0}$ замкнуты относительно расширений в ${\mathcal {D}}$. В частности, они замкнуты относительно конечных прямых сумм.

Предположим, что $({\mathcal {D}}^{\leq 0},{\mathcal {D}}^{\geq 0})$ — t-структура на ${\mathcal {D}}$. В этом случае, для любого целого n определим ${\mathcal {D}}^{\leq n}$ как полную подкатегорию ${\mathcal {D}}$, объекты которой имеют вид $X[-n]$, где $X$ — объект категории ${\mathcal {D}}^{\leq 0}$. Аналогично, ${\mathcal {D}}^{\geq n}$ определяется как полная подкатегория объектов вида $Y[-n]$, где $Y$ — объект ${\mathcal {D}}^{\geq 0}$. Более кратко это записывается так:

${\begin{aligned}{\mathcal {D}}^{\leq n}&={\mathcal {D}}^{\leq 0}[-n],\\{\mathcal {D}}^{\geq n}&={\mathcal {D}}^{\geq 0}[-n].\end{aligned}}$

С учётом этих обозначений, аксиомы могут быть переписаны следующим образом:

1. Если X — объект ${\mathcal {D}}^{\leq 0}$, а Y — объект ${\mathcal {D}}^{\geq 1}$, то $\operatorname {Hom} _{\mathcal {D}}(X,Y)=0.$
2. ${\mathcal {D}}^{\leq 0}\subseteq {\mathcal {D}}^{\leq 1}$ и ${\mathcal {D}}^{\geq 0}\supseteq {\mathcal {D}}^{\geq 1}$.
3. Если A — объект ${\mathcal {D}}$, то существует выделенный треугольник $X\to A\to Y\to X[1]$, в котором X — объект ${\mathcal {D}}^{\leq 0}$, а Y — объект ${\mathcal {D}}^{\geq 1}$.

Ядром или сердцевиной t-структуры называется полная подкатегория ${\mathcal {D}}^{\heartsuit }$, состоящая из объектов, которые содержатся одновременно в ${\mathcal {D}}^{\leq 0}$ и в ${\mathcal {D}}^{\geq 0}$, то есть

${\mathcal {D}}^{\heartsuit }={\mathcal {D}}^{\leq 0}\cap {\mathcal {D}}^{\geq 0}.$

Сердцевина t-структуры является абелевой категорией (тогда как триангулированная категория аддитивна, но почти никогда не абелева), и замкнута относительно расширений.

Триангулированную категорию с выбранной t-структурой иногда называют t-категорией.

Варианты определения

Для задания t-структуры достаточно, для некоторых целых чисел m и n задать ${\mathcal {D}}^{\leq m}$ и ${\mathcal {D}}^{\geq n}$. Некоторые авторы определяют t-структуру как пару $({\mathcal {D}}^{\leq 0},{\mathcal {D}}^{\geq 1})$.

Две подкатегории ${\mathcal {D}}^{\leq 0}$ и ${\mathcal {D}}^{\geq 1}$ однозначно определяют одна другую. Объект X принадлежит ${\mathcal {D}}^{\leq 0}$ тогда и только тогда, когда $\operatorname {Hom} (X,Y)=0$ для всех объектов Y из ${\mathcal {D}}^{\geq 1}$, и наоборот. Таким образом, ${\mathcal {D}}^{\leq 0}$ и ${\mathcal {D}}^{\geq 1}$ являются левым и правым ортогональными дополнениями друг для друга. Следовательно, достаточно задать одну из подкатегорий ${\mathcal {D}}^{\leq 0}$ или ${\mathcal {D}}^{\geq 1}$.

Если для любого объекта X категории ${\mathcal {D}}$ существуют такие целые m и n, что $X\in {\mathcal {D}}^{\geq m}$ и $X\in {\mathcal {D}}^{\leq n}$, то t-структура называется ограниченной.

Примеры

Естественная t-структура

Наиболее базовым примером t-структуры является естественная t-структура на производной категории. Пусть ${\mathcal {A}}$ — абелева категория, и $D({\mathcal {A}})$ — её производная категория. Тогда естественная t-структура задаётся парой подкатегорий

${\begin{aligned}D({\mathcal {A}})^{\leq 0}&=\{X\colon \forall i>0,\ H^{i}(X)=0\},\\D({\mathcal {A}})^{\geq 0}&=\{X\colon \forall i<0,\ H^{i}(X)=0\}.\end{aligned}}$

Из определения немедленно следует, что

${\begin{aligned}D({\mathcal {A}})^{\leq n}&=\{X\colon \forall i>n,\ H^{i}(X)=0\},\\D({\mathcal {A}})^{\geq n}&=\{X\colon \forall i<n,\ H^{i}(X)=0\},\\D({\mathcal {A}})^{\heartsuit }&=\{X\colon \forall i\neq 0,\ H^{i}(X)=0\}\cong {\mathcal {A}}.\end{aligned}}$

В этом случае третья аксиома t-структуры, утверждающая существование определённых выделенных треугольников, может быть доказана следующим образом. Предположим, что $A^{\bullet }$ — коцепной комплекс с членами из ${\mathcal {A}}$. Определим

${\begin{aligned}\tau ^{\leq 0}A^{\bullet }&=(\cdots \to A^{-2}\to A^{-1}\to \ker d^{0}\to 0\to 0\to \cdots ),\\\tau ^{\geq 1}A^{\bullet }&=(\cdots \to 0\to 0\to A^{0}/\ker d^{0}\to A^{1}\to A^{2}\to \cdots ).\end{aligned}}$

Нетрудно видеть, что $\tau ^{\geq 1}A^{\bullet }=A^{\bullet }/\tau ^{\leq 0}A^{\bullet }$ и существует короткая точная последовательность комплексов

$0\to \tau ^{\leq 0}A^{\bullet }\to A^{\bullet }\to \tau ^{\geq 1}A^{\bullet }\to 0.$

Эта точная последовательность индуцирует требуемый выделенный треугольник.

Существуют также аналогичные t-структуры для ограниченных, ограниченных сверху и ограниченных снизу производных категорий.

Пары кручения

Пусть ${\mathcal {A}}$ — сердцевина ограниченной t-структуры на триангулированной категории ${\mathcal {D}}$. Пара подкатегорий $({\mathcal {T}},{\mathcal {F}})$ категории ${\mathcal {A}}$ называется парой кручения, если выполняются следующие условия:

1. Для любых $T\in {\mathcal {T}},F\in {\mathcal {F}}$ имеем $\mathrm {Hom} (T,F)=0$.
2. Для любого $E\in {\mathcal {A}}$ существует точная последовательность $0\to T\to E\to F\to 0$ в категории ${\mathcal {A}}$, где $T\in {\mathcal {T}},F\in {\mathcal {F}}$.

Для любой пары кручения $({\mathcal {T}},{\mathcal {F}})$ можно определить «тилт» ${\mathcal {A}}'$ как наименьшую подкатегорию в ${\mathcal {D}}$, содержащую ${\mathcal {T}}$ и ${\mathcal {F}}[1]$ и замкнутую относительно расширений. Категория ${\mathcal {A}}'$ также является сердцевиной ограниченной t-структуры на ${\mathcal {D}}$. Такие t-структуры используются при построении условий стабильности по Бриджленду.

Срезающие функторы

В приведённом выше примере естественной t-структуры на производной категории выделенные треугольники, существование которых утверждается третьей аксиомой, строились при помощи операции «обрезания». Операции обрезания $\tau _{\leq 0}A^{\bullet }$ и $\tau _{\geq 1}A^{\bullet }$ функториальны как операции на категории комплексов, и получающаяся короткая точная последовательность комплексов функториальна по $A^{\bullet }$. Используя это, можно показать, что корректно определены срезающие функторы на производной категории, и что они индуцируют естественный выделенный треугольник.

На самом деле, это — пример общего явления. Хотя в определении t-структуры не говорится о существовании срезающих функторов, такие функторы всегда могут быть построены, и, по существу, определены однозначно. Предположим, что ${\mathcal {D}}$ — триангулированная категория с t-структурой $({\mathcal {D}}^{\leq 0},{\mathcal {D}}^{\geq 0})$. Точное утверждение заключается в том, что функторы вложения

${\begin{aligned}\iota ^{\leq n}\colon &{\mathcal {D}}^{\leq n}\to {\mathcal {D}},\\\iota ^{\geq n}\colon &{\mathcal {D}}^{\geq n}\to {\mathcal {D}}\end{aligned}}$

имеют сопряжённые. Это функторы

${\begin{aligned}\tau ^{\leq n}\colon &{\mathcal {D}}\to {\mathcal {D}}^{\leq n},\\\tau ^{\geq n}\colon &{\mathcal {D}}\to {\mathcal {D}}^{\geq n},\end{aligned}}$

такие, что

${\begin{aligned}\iota ^{\leq n}\dashv \tau ^{\leq n},\\\tau ^{\geq n}\dashv \iota ^{\geq n}.\end{aligned}}$

Более того, для любого объекта $A$ категории ${\mathcal {D}}$ существует однозначно определённый морфизм

$d\in \operatorname {Hom} ^{1}(\tau ^{\geq 1}A,\tau ^{\leq 0}A),$

который, вместе с единицей и коединицей сопряжения, индуцирует выделенный треугольник

$\tau ^{\leq 0}A\to A\to \tau ^{\geq 1}A\ {\stackrel {d}{\to }}\ \tau ^{\leq 0}A[1].$

С точностью до единственного изоморфизма, существует единственный выделенный треугольник вида $X\to A\to Y\to X[1]$, в котором $X$ и $Y$ являются объектами ${\mathcal {D}}^{\leq 0}$ и ${\mathcal {D}}^{\geq 1}$, соответственно. Из существования такого треугольника следует, что объект $A$ принадлежит ${\mathcal {D}}^{\leq n}$ (соответственно, ${\mathcal {D}}^{\geq n}$), если и только если $\tau ^{\geq n+1}(A)=0$ (соответственно, $\tau ^{\leq n-1}(A)=0$).

Из существования $\tau ^{\leq 0}$ следует существование остальных срезающих функторов, при помощи сдвигов и перехода к противоположной категории. Если $A$ — объект ${\mathcal {D}}$, третья аксиома из определения t-структуры утверждает существование объекта $X$ из ${\mathcal {D}}^{\leq 0}$ и морфизма $X\to A$, включающегося в определённый выделенный треугольник. Для произвольного $A$ выберем один такой треугольник и положим $\tau ^{\leq 0}(A)=X$. Из аксиом t-структуры следует, что для любого объекта $T$ из ${\mathcal {D}}^{\leq 0}$ мы имеем

$\operatorname {Hom} (T,X)\cong \operatorname {Hom} (T,A),$

и изоморфизм индуцируется морфизмом $X\to A$. Это показывает, что $X$ является решением задачи об универсальном отображении. Из стандартных утверждений о производных функторах следует, что объект $X$ определён однозначно с точностью до единственного изоморфизма, и что существует единственный способ определить действие $\tau ^{\leq 0}$ на морфизмах, который делает его правым сопряжённым функтором. Это доказывает существование $\tau ^{\leq 0}$, и, следовательно, существование всех срезающих функторов.

Повторное применение операций обрезания для t-структур имеет свойства, аналогичные операциям обрезания для комплексов. Если $n\leq m$, то существуют естественные преобразования

${\begin{aligned}\tau ^{\leq n}&\to \tau ^{\leq m},\\\tau ^{\geq n}&\to \tau ^{\geq m},\end{aligned}}$

которые индуцируют естественные эквивалентности

${\begin{aligned}\tau ^{\leq n}\ &{\stackrel {\sim }{\to }}\ \tau ^{\leq n}\circ \tau ^{\leq m},\\\tau ^{\geq m}\ &{\stackrel {\sim }{\to }}\ \tau ^{\geq m}\circ \tau ^{\geq n},\\\tau ^{\geq n}\circ \tau ^{\leq m}\ &{\stackrel {\sim }{\to }}\ \tau ^{\leq m}\circ \tau ^{\geq n}.\end{aligned}}$

Функторы когомологий

Функтор n-х когомологий $H^{n}$ определяется по формуле

$H^{n}=\tau ^{\leq 0}\circ \tau ^{\geq 0}\circ [n].$

В соответствии с названием, он действительно является когомологическим функтором на триангулированной категории. А именно, для любого выделенного треугольника $X\to Y\to Z\to X[1]$ мы получаем длинную точную последовательность

$\cdots \to H^{i}(X)\to H^{i}(Y)\to H^{i}(Z)\to H^{i+1}(X)\to \cdots .$

В приложениях из алгебраической топологии функторы когомологий могут обозначаться как $\pi _{n}$ вместо $H^{n}$. Функторы когомологий принимают значения в сердцевине ${\mathcal {D}}^{\heartsuit }$. По одному из приведённых выше тождеств, с точностью до естественной эквивалентности можно положить

$H^{n}=\tau ^{\geq 0}\circ \tau ^{\leq 0}\circ [n].$

Для естественной t-структуры на производной категории $D({\mathcal {A}})$ функтор когомологий $H^{n}$, как принимающий значения в ${\mathcal {A}}$, сопоставляет комплексу его обычные n-е когомологии.

t-структура называется невырожденной, если пересечение всех ${\mathcal {D}}^{\leq n}$, а также пересечение всех ${\mathcal {D}}^{\geq n}$, состоит только из нулевых объектов. Для невырожденной t-структуры набор функторов $\{H^{n}\}_{n\in \mathbf {Z} }$ является консервативным (то есть морфизм $f:X\to Y$ в ${\mathcal {D}}$ является изоморфизмом, если все $H^{n}(f)$ — изоморфизмы). Более того, в этом случае ${\mathcal {D}}^{\leq n}$ (соответственно, ${\mathcal {D}}^{\geq n}$) можно отождествить с полной подкатегорией тех объектов $A$, для которых $H^{i}(A)=0$ при $i>n$ (соответственно, $i<n$).

Литература

• Гельфанд С. И., Манин Ю. И. Методы гомологической алгебры. — М.: Наука, 1988. — Т. 1. Введение в теорию когомологий и производные категории. — 416 с. — ISBN 5-02-014414-2.