Конус (топология)

Конус в топологии — топологическое пространство, получающееся из исходного пространства $X$ стягиванием подпространства $X\times \{0\}$ его цилиндра ($X\times [0,1]$) в одну точку, то есть, факторпространство $(X\times [0,1])/(X\times \{0\})$. Конус над пространством $X$ обозначается $\mathrm {C} X$.

Конус окружности. Исходное пространство выделено голубым цветом, стянутая конечная точка выделена зелёным цветом.

Если $X$ — компактное подмножество евклидова пространства, то конус над $X$ гомеоморфен объединению отрезков из $X$ в выделенную точку пространства, то есть, определение топологического конуса согласуется с определением конуса геометрического. Однако топологический конус является более общей конструкцией.

Примеры

Конус над точкой $p$ вещественной прямой — это интервал $\{p\}\times [0,1]$, конус над интервалом вещественной прямой — заполненный треугольник (2-симплекс), конус над многоугольником $P$ — это пирамида с основанием $P$. Конус над кругом — это классический конус (с внутренностью); конус над окружностью — боковая поверхность классического конуса:

$\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}\mid x^{2}+y^{2}=z^{2}\wedge 0\leqslant z\leqslant 1\}$,

гомеоморфная кругу.

В общем случае конус над гиперсферой гомеоморфен замкнутому $(n+1)$-мерному шару. Конус над $n$-симплексом — $(n+1)$-симплекс.

Свойства

Конус $\mathrm {C} X$ может быть сконструирован как цилиндр постоянного отображения $X\to \{0\}$ .

Все конусы являются линейно связными, поскольку любую точку можно соединить с вершиной. Более того, любой конус является стягиваемым к вершине с помощью гомотопии, задаваемой формулой $h_{t}(x,s)=(x,(1-t)s)$.

Если $X$ является компактным и хаусдорфовым, то конус $\mathrm {C} X$ можно представить как пространство отрезков, соединяющих каждую точку $X$ с единственной точкой; если $X$ не является компактным или хаусдорфовым, то это не так, поскольку в общем случае топология на факторпространстве $\mathrm {C} X$ будет тоньше, чем множество отрезков, соединяющих $X$ с точкой.

В алгебраической топологии конусы широко применяются благодаря тому, что представляют пространства как вложения в стягиваемое пространство; в этой связи также важен следующий результат: пространство $X$ стягиваемо тогда и только тогда, когда оно является ретрактом своего конуса.

Конический функтор

Отображение $X\mapsto \mathrm {C} X$ порождает конический функтор — эндофунктор $\mathrm {C} :\mathbf {Top} \to \mathbf {Top}$ над категорией топологических пространств $\mathbf {Top}$.

Приведённый конус

Приведённый конус — конструкция над пунктированным пространством $(X,x_{0})$:

$\mathrm {C} (X,x_{0})={\big (}X\times [0,1]{\big )}/{\big (}(X\times \left\{0\right\})\cup (\left\{x_{0}\right\}\times [0,1]){\big )}$.

Естественное вложение $x\mapsto (x,1)$ позволяет рассмотреть всякое пунктированное пространство как замкнутое подмножество своего приведённого конуса.

См. также

• Надстройка (топология)
• Конус отображения (топология)
• Конус отображения (гомологическая алгебра)
• Джойн (топология)

Литература

• Ален Хатчер. Алгебраическая топология. — Москва: Издательство МЦНМО, 2011. — ISBN 978-5-940-57-748-5.
• Р. М. Свитцер. Алгебраическая топология – гомотопии и гомологии. — Москва: «Наука», Главная редакция физико-математической литературы, 1985.
• Э. Спеньер. Алгебраическая топология. — Москва: «Мир», 1971.