Образ (математика)

Образ функции — это множество всех значений данной функции.

$f$ — это функция из области определения $X$ в кодомен $Y$. Жёлтый овал внутри $Y$ — это образ функции $f$.

В более общем виде, вычисление значения заданной функции $f$ для каждого элемента заданного подмножества $A$ области определения функции даёт множество, называемое «образом $A$ для функции $f$». Аналогично, обратный образ (или прообраз) заданного подмножества $B$ кодомена функции $f$ — это множество всех элементов области определения, которые отображаются в элементы множества $B$.

Образ и обратный образ могут также быть определены для общих бинарных отношений, а не только функций.

Определение

Термин «образ» используется тремя связанными способами. В этих определениях $f\colon X\to Y$ — это функция из множества $X$ в множество $Y$.

Образ элемента

Если $x$ является элементом множества $X$, то образ элемента $x$ для функции $f$, обозначаемый $f(x)$, — это значение функции $f$ для аргумента $x$.

Образ подмножества

Образ подмножества $A\subseteq X$ для функции $f$, обозначаемый $f[A]$, является подмножеством множества $Y$, которое может быть определено с помощью следующей формы записи:

$f[A]=\{f(x)\mid x\in A\}$.

Если нет риска путаницы, $f[A]$ записывается просто как $f(A)$. Это соглашение является общепринятым. Предполагаемый смысл должен быть определён из контекста. Это делает $f[.]$ функцией, областью определения которой является степень множества $X$ (множество всех подмножеств множества $X$), а кодоменом является степень множества $Y$. См. раздел § Обозначения.

Образ функции

Образ функции — это образ всей области определения, известный также как область значений функции.

Обобщение к бинарным отношениям

Если $R$ является произвольным бинарным отношением на прямом произведении $X\times Y$, то множество $\{y\in Y\|xRy,x\in X\}$ называется образом отношения $R$. Множество $\{x\in X|xRy,y\in Y\}$ называется областью определения отношения $R$.

Обратный образ

Пусть $f$ будет функцией из $X$ в $Y$. Прообраз, или обратный образ, множества $B\subseteq Y$ для функции $f$, обозначаемый $f^{-1}[B]$, — это подмножество $X$, определённое как

$f^{-1}[B]=\{x\in X\,|\,f(x)\in B\}.$

Возможны и другие обозначения, как например $f^{-1}(B)$ и $f^{-}(B)$.

Обратный образ синглетона, обозначаемый $f^{-1}[\{y\}]$ или $f^{-1}[y]$, называется также слоем для $y$ или множеством уровня элемента $y$. Множество всех слоёв для элементов $Y$ — это семейство подмножеств, индексированных элементами $Y$.

Например, для функции $f(x)=x^{2}$ обратным образом $\{4\}$ будет $\{-2,2\}$. Как было сказано выше, если нет риска путаницы, $f^{-1}[B]$ может обозначаться как $f^{-1}(B)$, а $f^{-1}$ можно рассматривать как функцию из множества всех подмножеств (булеана) множества $Y$ в булеан множества $X$. Обозначение $f^{-1}$ не следует путать с обратной функцией, хотя оно и согласуется с обычной обратной функцией для биекций в том, что обратный образ $B$ для $f$ является образом $B$ для $f^{-1}$.

Обозначения для образа и обратного образа

Традиционные обозначения, использованные в предыдущих разделах, могут вызвать сложности в понимании. Альтернативой является задание явных имён для образа и прообраза функций между булеанами.

Стрелочные обозначения

• $f^{\to }:{\mathcal {P}}(X)\to {\mathcal {P}}(Y)$ для $f^{\to }(A)=\{f(a)\;|\;a\in A\}$
• $f^{\leftarrow }:{\mathcal {P}}(Y)\to {\mathcal {P}}(X)$ для $f^{\leftarrow }(B)=\{a\in X\;|\;f(a)\in B\}$

Обозначения со звёздочками

• $f_{\star }:{\mathcal {P}}(X)\to {\mathcal {P}}(Y)$ вместо $f^{\to }$
• $f^{\star }:{\mathcal {P}}(Y)\to {\mathcal {P}}(X)$ вместо $f^{\leftarrow }$

Другая терминология

• Альтернативным обозначением для $f[A]$, используемым в математической логике и теории множеств, является $f^{\prime \prime }A$.
• Некоторые книги называют образ $f$ областью значений $f$, но этого следует избегать, поскольку термин «область значений» широко используется также для обозначения кодомена функции $f$.

Примеры

1. $f\colon \{1,2,3\}\to \{a,b,c,d\}$ определена как $f(x)=\left\{{\begin{matrix}a,&x=1;\\a,&x=2;\\c,&x=3.\end{matrix}}\right.$
   Образом множества {2, 3} для функции $f$ является $f(\{2,3\})=\{a,c\}$. Образ функции $f$ — это $\{a,c\}$. Прообразом $a$ является $f^{-1}(\{a\})=\{1,2\}$. Прообразом множества $\{a,b\}$ также является $\{1,2\}$. Прообразом множества $\{b,d\}$ является пустое множество $\{\}$.
2. $f\colon \mathbf {R} \to \mathbf {R}$ определена как $f(x)=x^{2}$.
   Образ $\{-2,3\}$ для функции $f$ — это $f(\{-2,3\})=\{4,9\}$, а образ функции $f$ — это $\mathbf {R} ^{+}$. Прообраз $\{4,9\}$ для $f$ — это $f^{-1}(\{4,9\})=\{-3,-2,2,3\}$. Прообраз множества $N=\{n\in \mathbf {R} \|n<0\}$ для $f$ — это пустое множество, поскольку отрицательные числа не имеют квадратных корней в множестве вещественных чисел.
3. $f\colon \mathbf {R} ^{2}\to \mathbf {R}$ определена как $f(x,y)=x^{2}+y^{2}$.
   Слои $f^{-1}(\{a\})$ являются концентрическими окружностями с центром в начале координат, единственной точкой начала координат или пустым множеством в зависимости от значений $a$ ($a>0$, $a=0$ или $a<0$ соответственно).
4. Если $M$ — это многообразие, а $\pi :TM\to M$ — это каноническая проекция из касательного расслоения $TM$ в $M$, то слоями отображения $\pi$ являются касательные пространства $T_{x}(M)$ для $x\in M$. Это также пример расслоённого пространства.
5. Факторгруппа — это гомоморфный образ.

Свойства

См. также: Алгебра множеств

Контрпримеры

Контрпримеры на основе $f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} ,x\mapsto x^{2}$, показывающие, что это равенство обычно не выполняется для некоторых законов
$f(A_{1}\cap A_{2})\varsubsetneq f(A_{1})\cap f(A_{2})$
$f(f^{-1}(B_{3}))\subseteq B_{3}$
$f^{-1}(f(A_{4}))\supseteq A_{4}$

Общий случай

Для любой функции $f\colon X\to Y$ и всех подмножеств $A\subseteq X$ и $B\subseteq Y$ выполняются следующие свойства:

Образ	Прообраз
$f(X)\subseteq Y$	$f^{-1}(Y)=X$
$f(f^{-1}(Y))=f(X)$	$f^{-1}(f(X))=X$
$f(f^{-1}(B))\subseteq B$ (равны, если $B\subseteq f(X)$, т.е. $f$ сюръектвна)	$f^{-1}(f(A))\supseteq A$ (равны, если $f$ инъективна)
$f(f^{-1}(B))=B\cap f(X)$	$(f\vert _{A})^{-1}(B)=A\cap f^{-1}(B)$
$f(f^{-1}(f(A)))=f(A)$	$f^{-1}(f(f^{-1}(B)))=f^{-1}(B)$
$f(A)=\varnothing \Leftrightarrow A=\varnothing$	$f^{-1}(B)=\varnothing \Leftrightarrow B\subseteq Y\setminus f(X)$
$f(A)\supseteq B\Leftrightarrow \exists C\subseteq A:f(C)=B$	$f^{-1}(B)\supseteq A\Leftrightarrow f(A)\subseteq B$
$f(A)\supseteq f(X\setminus A)\Leftrightarrow f(A)=f(X)$	$f^{-1}(B)\supseteq f^{-1}(Y\setminus B)\Leftrightarrow f^{-1}(B)=X$
$f(X\setminus A)\supseteq f(X)\setminus f(A)$	$f^{-1}(Y\setminus B)=X\setminus f^{-1}(B)$
$f(A\cup f^{-1}(B))\subseteq f(A)\cup B$	$f^{-1}(f(A)\cup B)\supseteq A\cup f^{-1}(B)$
$f(A\cap f^{-1}(B))=f(A)\cap B$	$f^{-1}(f(A)\cap B)\supseteq A\cap f^{-1}(B)$

Также:

• $f(A)\cap B=\varnothing \Leftrightarrow A\cap f^{-1}(B)=\varnothing$

Для нескольких функций

Для функций $f\colon X\to Y$ и $g\colon Y\to Z$ с подмножествами $A\subseteq X$ и $C\subseteq Z$ выполняются следующие свойства:

• $(g\circ f)(A)=g(f(A))$
• $(g\circ f)^{-1}(C)=f^{-1}(g^{-1}(C))$

Несколько подмножеств домена или кодомена

Для функции $f\colon X\to Y$ и подмножеств $A_{1},A_{2}\subseteq X$ и $B_{1},B_{2}\subseteq Y$ выполняются следующие свойства:

Образ	Прообраз
$A_{1}\subseteq A_{2}\Rightarrow f(A_{1})\subseteq f(A_{2})$	$B_{1}\subseteq B_{2}\Rightarrow f^{-1}(B_{1})\subseteq f^{-1}(B_{2})$
$f(A_{1}\cup A_{2})=f(A_{1})\cup f(A_{2})$	$f^{-1}(B_{1}\cup B_{2})=f^{-1}(B_{1})\cup f^{-1}(B_{2})$
$f(A_{1}\cap A_{2})\subseteq f(A_{1})\cap f(A_{2})$ (равны, если $f$ инъективны)	$f^{-1}(B_{1}\cap B_{2})=f^{-1}(B_{1})\cap f^{-1}(B_{2})$
$f(A_{1}\setminus A_{2})\supseteq f(A_{1})\setminus f(A_{2})$ (равны, если $f$ инъективна)	$f^{-1}(B_{1}\setminus B_{2})=f^{-1}(B_{1})\setminus f^{-1}(B_{2})$
$f(A_{1}\triangle A_{2})\supseteq f(A_{1})\triangle f(A_{2})$ (равны , если $f$ инъективна)	$f^{-1}(B_{1}\triangle B_{2})=f^{-1}(B_{1})\triangle f^{-1}(B_{2})$

Результаты для образов и прообразов (булевой) алгебры пересечений и объединений работает для любой коллекции подмножеств, не только для пар подмножеств:

• $f\left(\bigcup _{s\in S}A_{s}\right)=\bigcup _{s\in S}f(A_{s})$
• $f\left(\bigcap _{s\in S}A_{s}\right)\subseteq \bigcap _{s\in S}f(A_{s})$
• $f^{-1}\left(\bigcup _{s\in S}B_{s}\right)=\bigcup _{s\in S}f^{-1}(B_{s})$
• $f^{-1}\left(\bigcap _{s\in S}B_{s}\right)=\bigcap _{s\in S}f^{-1}(B_{s})$

(Здесь $S$ может быть бесконечным множеством, даже несчётным.)

Что касается описанной выше алгебры подмножеств, обратная отображающая функция — это гомоморфизм решётки, в то время как отображающая функция — это лишь гомоморфизм полурешёток (т. е. она не всегда сохраняет пересечения).

См. также

• Биекция, инъекция и сюръекция
• Образ (теория категорий)
• Ядро (теория множеств)