Открыть главное меню

Абсолютная геометрия

Абсолютная геометрия — часть классической геометрии, независимая от пятого постулата евклидовой аксиоматики (то есть в абсолютной геометрии пятый постулат может выполняться, а может и не выполняться). Абсолютная геометрия содержит предложения, общие для евклидовой геометрии и для геометрии Лобачевского[1][2].

Термин был предложен Яношем Бойяи в 1832 году[3]. Правда, сам Бойяи вкладывал в него несколько иной смысл: он называл абсолютной геометрией специально разработанную им символику, которая позволяла объединять одной формулой теоремы как евклидовой геометрии, так и геометрии Лобачевского[4].

Примеры теорем абсолютной геометрииПравить

Первые 28 теорем «Начал» Евклида относятся к абсолютной геометрии. Приведём ещё несколько примеров таких теорем[5]:

  • У равнобедренного треугольника углы при основании равны.
  • Внешний угол треугольника больше каждого внутреннего, не смежного с ним.
  • Во всяком треугольнике по крайней мере два угла острые.
  • При пересечении двух прямых вертикальные углы равны.
  • Большей из двух сторон треугольника противостоит и больший угол, и наоборот, большему углу противостоит бо́льшая сторона.
  • Перпендикуляр (из точки на прямую) короче наклонной.
  • Каждая сторона треугольника меньше суммы и больше разности двух других его сторон.
  • Сумма углов треугольника не превосходит 180°.

Теоремы, не входящие в абсолютную геометриюПравить

Современная аксиоматика евклидовой геометрии (например, аксиоматика Гильберта) полна, то есть любое корректное утверждение в этой теории может быть доказано или опровергнуто. Абсолютная геометрия неполна: поскольку пятый постулат определяет метрические свойства однородного пространства, отсутствие его в абсолютной геометрии означает, что метрика пространства не определена, и большинство теорем, связанных с измерениями (например, теорема Пифагора или теорема о сумме углов треугольника) не могут быть доказаны в абсолютной геометрии[6].

Другие примеры теорем, не входящих в абсолютную геометрию:

Вариации и обобщенияПравить

В абсолютной геометрии параллельные прямые всегда существуют (см. теоремы 27 и 28 «Начал» Евклида, доказанные без опоры на пятый постулат), поэтому сферическая геометрия, в которой нет параллельных, несовместима с абсолютной геометрией. Однако можно построить аксиоматику, объединяющую все три типа неевклидовых геометрий (евклидову, сферическую и геометрию Лобачевского)[8], и тогда абсолютную геометрию можно определить как их общую часть. Это новое определение более узкое, чем прежнее — например, теорема «сумма углов треугольника не превосходит 180°» перестаёт быть верной.

ПримечанияПравить

  1. Абсолютная геометрия // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1977. — Т. 1. — С. 34.
  2. Высшая геометрия, 1971, с. 88--89.
  3. Больаи Я. Аппендикс // Об основаниях геометрии (сб. статей), М., ГИТТЛ, 1956. Серия «Классики естествознания».
  4. Математика XIX века. Том II: Геометрия. Теория аналитических функций / Под ред. Колмогорова А. Н., Юшкевича А. П.. — М.: Наука, 1981. — С. 64—65. — 270 с.
  5. Высшая геометрия, 1971, с. 14, 67 и далее, 89.
  6. 1 2 school-collection.edu.ru.
  7. См, например: Gunter Ewald. Geometry: an introduction. Wadsworth Publishing. 1st. 1971, 399 pages. ISBN 0534000347.
  8. Peil, Timothy. Hilbert's Axioms Modified for Plane Elliptic Geometry (англ.). // Survey of Geometry. Дата обращения 18 октября 2016.

ЛитератураПравить

  • Гильберт Д. Основания геометрии. — М.—Л.: ГИТТЛ, 1948. — 492 с. — (Классики естествознания. Математика, механика, физика, астрономия).
  • Ефимов Н. В. Высшая геометрия. — 7-е изд. — М.: Физматлит, 1971.
    • Переиздание: 2004, издательство «Физматлит», ISBN 5-9221-0267-2.

СсылкиПравить