Абсолютная группа Галуа

Абсолютная группа Галуа поля  — группа Галуа над , где  — сепарабельное замыкание . Также определяется как группа всех автоморфизмов алгебраического замыкания поля , которые оставляют неподвижным. Абсолютная группа Галуа уникальна с точностью до изоморфизма. Является проконечной группой.

(Если  — совершенное поле, совпадает с алгебраическим замыканием поля . Например, это верно для полей характеристики 0 и конечных полей.)

ПримерыПравить

  • Абсолютная группа Галуа алгебраически замкнутого поля тривиальна.
  • Абсолютная группа Галуа действительных чисел — циклическая группа, состоящая из двух элементов (комплексного сопряжения и тождественного отображения), так как   — сепарабельное замыкание   и  .
  • Абсолютная группа Галуа конечного поля   изоморфна группе   Здесь   — проективный предел.
Автоморфизм Фробениуса   — канонический (топологический) генератор   ( , где   — число элементов в  ).
  • Абсолютная группа Галуа поля рациональных функций с комплексными коэффициентами является свободной проконечной группой[1].
  • В более общем случае, пусть   — алгебраически замкнутое поле и   — переменная. Тогда абсолютная группа Галуа поля   — свободная группа ранга равного мощности  [2][3][4].
  • Пусть   — конечное расширение p-адических чисел  . Для  , его абсолютная группа Галуа порождается   элементами и имеет явное описание в терминах образующих и соотношений.
  • Абсолютная группа Галуа определена для наибольшего чисто вещественного подполя поля алгебраических чисел.

Открытые проблемыПравить

ПримечанияПравить

  1. Adrien Douady. Détermination d'un groupe de Galois (фр.) // Comptes Rendues de l'Académie des Sciences de Paris. — 1964. — Vol. 258. — P. 5305–5308., MR: 0162796
  2. David Harbater. Fundamental groups and embedding problems in characteristic p (англ.) // American Mathematical Society. — 1995. — Vol. 186. — P. 353–369.
  3. Dan Haran, Moshe Jarden. The absolute Galois group of C(x(англ.) // Pacific Journal of Mathematics : журнал. — 2000. — Vol. 196, no. 2. — P. 445–459. — doi:10.2140/pjm.2000.196.445.
  4. Florian Pop. Étale Galois covers of affine smooth curves. The geometric case of a conjecture of Shafarevich. On Abhyankar's conjecture (англ.) // Inventiones Mathematicae. — 1995. — Vol. 120, no. 3. — P. 555–578. — doi:10.1007/bf01241142.