Аналлагматическая геометрия

Аналлагмати́ческая геоме́трия на плоскости — обширный раздел геометрии, изучающий свойства фигур, сохраняющихся при преобразованиях, переводящих окружности в окружности. Иногда под аналлагматической геометрией понимают только её часть на расширенной плоскости.

Синонимы:

• конфо́рмная геоме́трия,
• кругова́я геоме́трия,
• геоме́трия окру́жностей.

Расширенная плоскость в данном случае получена добавлением к обычной плоскости «бесконечно удалённой точки». Этот частный случай расширенной плоскости называется круговой плоскостью.

Содержание настоящего материала переносится с геометрии окружностей на геометрию сфер почти без принципиально новых идей.

Аналлагматическая геометрия на плоскости имеет три следующие основные ветви:

• точечная аналлагматическая геометрия на расширенной плоскости (принципы заложены немецким математиком Августом Фердинандом Мёбиусом (1790—1868));
• осевая аналлагматическая геометрия на обычной плоскости (принципы заложены французским математиком Эдмоном Лагерром (1834—1886));
• касательная аналлагматическая геометрия на расширенной плоскости (принципы заложены норвежским математиком Софусом Ли (1842—1899)).

Эти три аналлагматические геометрии обладают следующими особенностями:

• точечная аналлагматическая геометрия:

• основной элемент — точка;
• окружность задаётся как множество точек;
• прямая считается частным случаем окружности;
• прямые и окружности равноправны;

• осевая аналлагматическая геометрия;

• основной элемент — прямая;
• окружность задаётся как множество прямых;
• точка считается частным случаем окружности;
• точки и окружности равноправны;

• касательная аналлагматическая геометрия.

• основной элемент — линейный элемент;
• окружность задаётся как множество линейных элементов;
• прямая и точка считаются частными случаями окружности;
• прямые, точки и окружности равноправны.

Точечная аналлагматическая геометрия

То́чечная аналлагмати́ческая геоме́трия на расширенной плоскости — одна из трёх основных ветвей аналлагматической геометрии, изучающий свойства фигур, сохраняющихся при точечных круговых преобразованиях, то есть точечных преобразованиях, переводящих окружности в окружности.

Синонимы:

• аналлагмати́ческая геоме́трия Мёбиуса.

Окружность как множество точек

Окружностью называется множество всех точек плоскости таких, что они удалены от фиксированной точки плоскости на одно и то же расстояние. Это расстояние называется радиусом окружности, а фиксированная точка — центром окружности.

Если радиус окружности равен нулю, то она вырождается в окружность нулевого радиуса — точку. Обычная окружность с положительным радиусом называются собственной окружностью. Точки и собственные окружности называются окружностями конечного радиуса.

Если радиус окружности устремить к бесконечности, то она вырождается в окружность бесконечного радиуса — прямую. Прямые и собственные окружности называются окружностями ненулевого радиуса.

Если радиус окружности устремить к бесконечности, то она вырождается в окружность бесконечного радиуса — прямую. Прямые и собственные окружности называются окружностями ненулевого радиуса.

Обобщающее определение окружности следующее:

• окружностями называются собственные окружности, точки и прямые.

Две окружности называются касающимися, если они имеют только одну общую точку, а именно:

• две собственные окружности касаются, если они имеют только одну общую точку;
• собственная окружность и прямая касаются, если они имеют только одну общую точку;
• собственная окружность и точка касаются, если точка лежит на окружности;
• прямая и точка касаются, если точка лежит на прямой;
• две прямые касаются, если они параллельны.

На следующем рисунке показаны все случаи касания различных видов окружностей на плоскости.

• Все случае касания окружностей на плоскости
• 
  Касание двух собственных окружностей
• 
  Касание собственной окружности и прямой
• 
  Касание собственной окружности и точки
• 
  Касание прямой и точки
• 
  Касание двух прямых

Бесконечно удалённой точкой называется предел, к которому стремится точка, неограниченно удаляющаяся по прямой на плоскости в любом направлении. Бесконечно удалённая точка (любая прямая плоскости) инцидентна любой прямой плоскости (бесконечно удалённой точке). Бесконечно удалённая точка устраняет различие между окружностями и прямыми, поскольку прямые с бесконечно удалённой точкой замкнуты, они «замыкаются в бесконечности».

Круговой, или расширенной, плоскостью называется плоскость, расширенная одной бесконечно удалённой точкой. Это понятие — математическая абстракция, наряду с понятием обычной бесконечной плоскости.

Точечным круговым преобразованием, или круговым преобразованием, или преобразованием Мёбиуса, называется преобразование круговой плоскости, отображающее прямые и окружности снова в прямые и окружности, то есть отображающее в себя множество всех окружностей ненулевого радиуса.

Множество всех точечных круговых преобразований совпадает с множеством дробно-линейных преобразований.

Группой точечных круговых преобразований называется множество всех точечных круговых преобразований, а также множество всех касательных круговых преобразований. Группы точечной аналлагматической геометрии и касательной аналлагматической геометрии совпадают.

Осевая аналлагматическая геометрия

Осева́я аналлагмати́ческая геоме́трия на расширенной плоскости — одна из трёх основных ветвей аналлагматической геометрии, изучающий свойства фигур, сохраняющихся при осевых круговых преобразованиях, то есть осевых преобразованиях, переводящих окружности в окружности.

Синоним:

• геоме́трия Лаге́рра.

Важно, что свойства точек аналогичны свойствам прямых, например:

• точку (прямую) можно задать двумя прямыми (точками)
• точки (прямые), лежащие между двумя фиксированными точками (прямыми), инцидентными некоторой прямой (точке), составляют отрезок (угол);
• три вершины (стороны) треугольника инцидентны описанной (вписанной) окружности.

Окружность можно определять разными способами:

• в точечной аналлагматической геометрии — как множество точек, принадлежащих окружности;
• в осевой аналлагматической геометрии — как множество прямых, касательных к окружности.

Окружности и точки в осевой аналлагматической геометрии понимаются следующим образом:

• окружностью называется множество всех прямых плоскости, равноудалённых от фиксированной точки плоскости. Эта фиксированная точка называется центром окружности, а расстояние от центра до прямых — радиусом окружности;
• точкой называется множество всех прямых плоскости, проходящих через эту точку. Другими словами, точка — это окружность нулевого радиуса.

На следующем рисунке показаны окружность и точка, задаваемые прямыми на плоскости.

• Геометрические образы, определяемые прямыми
• 
  Окружность
• 
  Точка

Понятие окружности приходится уточнять по той причине, что сходство между окружностью точечной аналлагматической геометрии как множеством точек и окружностью осевой аналлагматической геометрии как множеством прямых в общем случае нарушается, например, по следующим причинам:

• у двух окружностей есть до двух общих точек, но до четырёх общих касательных прямых;
• для двух точек центры окружностей, через них проходящих, лежат на одной прямой, но для двух прямых центры окружностей, их касающихся, лежат на двух прямых;
• три точки лежат на одной окружности, но три прямые касаются четырёх окружностей.

Для устранения этих нестыковок вводят следующие понятия:

• направленная окружность, или цикл, — окружность, для которой окончательно выбрано одно из двух направлений;
• направленная прямая, или ось, — прямая, для которой окончательно выбрано одно из двух направлений.

Две направленные окружности касаются, если их направления в общей точке совпадают. Направленная окружность и направленная прямая касаются, если их направления в общей точке совпадают. Две направленные прямые параллельны, если их направления совпадают.

На следующем рисунке показаны касающиеся и не касающиеся направленные окружности, касающиеся как обычные окружности.

• Геометрические образы, определяемые прямыми
• 
  Касающиеся направленные окружности
• 
  Не касающиеся направленные окружности, касающиеся как обычные окружности

Цель введения направленных окружностей и прямых достигнута:

• у двух направленных окружностей есть до двух общих касательных направленных прямых;
• для двух направленных прямых центры направленных окружностей, их касающихся, лежат только на одной прямой;
• три направленные прямые касаются только одной направленной окружности.

Осевым преобразованием плоскости называется преобразование направленных прямых плоскости, то есть преобразования плоскости, которые отображают любую направленную прямую снова в направленную прямую. В общем случае осевое преобразование не переводит точки опять в точки: если точка — это множество проходящих через неё направленных прямых, то осевое преобразование может отобразить эту точку в некоторую кривую, задаваемую своими касательными — образами направленных прямых, проходящих через точку. Аналогично точечное преобразование отображает прямую как множество её точек в некоторую кривую, задаваемую отображёнными точками.

Осевым круговым преобразованием, или преобразованием Лагерра, называется осевое преобразование, отображающее любую направленную окружность ограниченного радиуса снова в направленную окружность ограниченного радиуса, то есть отображают множество касательных любой окружности снова в множество касательных некоторой окружности.

Верно следующее утверждение:

• множество всех осевых круговых преобразований образуют группу.

Действительно, для этого множества выполняются все три аксиомы группы, так как осевые круговые преобразования — это преобразования в множестве направленных прямых плоскости:

• тождественное преобразование — круговое, поскольку отображает любую окружность в себя;
• для преобразования, отображающего окружности в окружности, обратное му преобразование — тоже круговое;
• если два преобразования отображают окружности в окружности, то их последовательное выполнение также окружности в окружности.

Группой осевых круговых преобразований называется множество всех осевых круговых преобразований.

Касательная аналлагматическая геометрия

Каса́тельная аналлагмати́ческая геоме́трия на расширенной плоскости — одна из трёх основных ветвей аналлагматической геометрии, изучающий свойства фигур, сохраняющихся при касательных круговых преобразованиях, то есть касательных преобразованиях, переводящих окружности в окружности.

Синонимы:

• конта́ктная аналлагмати́ческая геоме́трия,
• кругова́я аналлагмати́ческая геоме́трия,
• аналлагмати́ческая геоме́трия прикоснове́ний,
• аналлагмати́ческая геоме́трия Ли.

Точечная аналлагматическая геометрия имеет следующие особенности рассмотрения своих элементов:

• окружность — это множество точек, как говорится, их геометрическое место;
• прямая — частный случай окружности;
• основные элементы геометрии суть точки, в частности, рассматриваются только точечные преобразования круговой плоскости, то есть переводящие точки снова в точки, одна из которых — бесконечно удалённая.

Осевая аналлагматическая геометрия основными элементами имеет не точки, а прямые:

• окружность — это множество прямых линий;
• точка — частный случай окружности;
• основные элементы геометрии суть прямые.

Касательная аналлагматическая геометрия представляет собой более общую теорию по сравнению с двумя предыдущими аналлагматическими геометриями — точечной и осевой, поскольку в ней и точки, и прямые суть частные случаи окружности. При этом по-прежнему:

• как и в точечной аналлагматической геометрии имеется бесконечно удалённая точка;
• как и в осевой аналлагматической геометрии прямые и окружности имеют направление.

По причине того, что в касательной аналлагматической геометрии ни точки, ни прямые ничем не выделяются из окружностей, понимаемых в смысле этой геометрии, основной элемент здесь — линейный элемент.

Линейный элемент

Линейный элемент — пара геометрических образов: точка и направленная прямая, проходящая через эту точку. Другими словами, линейный элемент — это точка и направление, заданное в этой точке. Бесконечно удалённый линейный элемент — пара геометрических образов: бесконечно удалённая точка плоскости и направление, которое определяется направленной прямой (параллельные прямые задают одно направление).

Окружности, точки и прямые в касательной аналлагматической геометрии понимаются следующим образом:

• направленной окружностью называется множество всех линейных элементов, каждый из которых определяется точкой этой окружности и касательной прямой к окружности в этой точке, причем направление линейного элемента совпадает с направлением окружности;
• точкой называется множество всех линейных элементов, каждый из которых имеет в своём составе эту точку;
• направленной прямой называется множество всех линейных элементов, каждый из которых определяется точкой этой прямой и направлением прямой.

На следующем рисунке показаны направленная окружность, точка и направленная прямая, задаваемые линейными элементами.

• Геометрические образы, определяемые линейными элементами
• 
  Направленная окружность
• 
  Точка
• 
  Направленная прямая

Две направленные окружности, касающиеся по линейному элементу

Касающимися окружностями называются окружности, имеющие общий линейный элемент. Возможны следующие шесть разных пар геометрических элементов, представляющих собой две касающиеся окружности:

• две касающиеся направленные окружности;
• направленная окружность и направленная прямая, у которых в точке касания совпадают направления;
• две параллельные прямые, то есть прямые, которые не пересекаются и одинаково направлены;
• точку и проходящую через неё направленную окружность с любым направлением;
• точку и проходящую через неё направленную прямую с любым направлением;
• бесконечно удалённую точку и произвольную направленную прямую

Касательным преобразованием, или преобразованием Ли, называется преобразование в множестве линейных элементов, отображающее любую кривую снова в некоторую кривую, другими словами, отображающее множество линейных элементов любой направленной кривой снова в множество линейных элементов некоторой направленной кривой. При этом, если кривые касаются, то касательное преобразование отображает их снова в касающиеся кривые. Именно это свойство переводить касательные окружности в касательные и дало название касательному преобразованию и касательной геометрии. Пример касательного преобразования — Подерное преобразование.

Касательным круговым преобразованием, или круговым преобразованием Ли, называется преобразование в множестве линейных элементов, отображающее любую окружность снова в некоторую окружность, другими словами, отображающее множество линейных элементов любой направленной окружности снова в множество линейных элементов некоторой направленной окружности. При этом, если окружности касаются, то касательное аналлагматическое преобразование отображает их снова в касающиеся окружности. Именно это свойство переводить касательные окружности в касательные и дало название касательному круговому преобразованию и касательной круговой геометрии.

Группой точечных круговых преобразований называется множество всех касательных круговых преобразований, а также множество всех точечных круговых преобразований. Группы касательной аналлагматической геометрии и точечной аналлагматической геометрии совпадают.

Точечные круговые преобразования и осевые круговые преобразования суть частные случаи касательных круговых преобразований, поэтому можно считать, что точечные (осевые) круговые преобразования — это те касательные круговые преобразования, которые переводят точки в точки (прямые в прямые). Также имеются касательные круговые преобразования, точки и прямые не сохраняющие, которые можно получить, например, сделав сразу несколько как точечных, так и осевых круговых преобразования. Оказывается, верно следующее утверждение:

• любое касательное круговое преобразование есть композиция, то есть последовательно применение, нескольких точечных и осевых круговых преобразований.

Если в задаче Аполлония три окружности направленные, то эта задача может иметь до двух решений. Отсюда следует, что в случае ненаправленных окружностей задача Аполлония может иметь до восьми решений. Действительно, направления трёх окружностей можно выбрать шестнадцатью способами, что даёт шестнадцать направленных окружностей, которые попарно отличаются только направлением.

Источники

• Иванов А. Б. Аналлагматическая геометрия // Математическая энциклопедия: Гл. ред. И. М. Виноградов, т. 1 А—Г. М.: «Советская Энциклопедия», 1977. 1152 стб., ил. Стб. 289.
• Иванов А. Б. Круговое преобразование // Математическая энциклопедия: Гл. ред. И. М. Виноградов, т. 3 Коо—Од. М.: «Советская Энциклопедия», 1982. 1184 стб., ил. С. 122.
• Яглом И. М. Окружности // Энциклопедия элементарной математики, книга четвёртая — геометрия / Гл. ред. П. С. Александров, А. И. Маркушевич, А. Я. Хинчин. Ред. книги 4: В. Г. Болтянский, И. М. Яглом. М.: Физматгиз, 1963. 568 с., ил. С. 448—517.
• Яглом И. М., Атанасян Л. С. Геометрические преобразования // Энциклопедия элементарной математики, книга четвёртая — геометрия / Гл. ред. П. С. Александров, А. И. Маркушевич, А. Я. Хинчин. Ред. книги 4: В. Г. Болтянский, И. М. Яглом. М.: Физматгиз, 1963. 568 с., ил. С. 49—158.