Бесконечная система линейных алгебраических уравнений

Бесконечная система линейных алгебраических уравнений — обобщение понятия системы линейных алгебраических уравнений на случай бесконечного множества неизвестных, определённое методами функционального анализа. Оно имеет смысл не над любым полем, а, например, над вещественными и комплексными числами. Также возможно прямолинейное обобщение методами собственно линейной алгебры, отличное от описанного в статье.

Бесконечная система линейных алгебраических уравнений часто появляется в процессе решения разнообразных задач в физике и технике методом неопределённых коэффициентов, например в задачах теплопроводности, определения перигелия движения Луны в астрономии, в задаче определения статического прогиба прямоугольного тела с закреплёнными концами.

Определение

Бесконечной системой линейных алгебраических уравнений называется бесконечное множество алгебраических уравнений первой степени относительно бесконечного множества неизвестных: $\sum _{k=1}^{\infty }a_{ik}x_{k}=b_{i}$, $i=1,2,...$. Решением бесконечной системы линейных алгебраических уравнений называется всякая последовательность чисел $\left\{x_{k}\right\}$, такая, что все ряды $\sum _{k=1}^{\infty }a_{ik}x_{k}$, $i=1,2,...$ являются сходящимися к $b_{i}$. Решение $\left\{x_{k}\right\}$ бесконечной системы линейных алгебраических уравнений называется ограниченным, если числа $x_{k}$ образуют ограниченную последовательность.

Удобно рассматривать бесконечные системы линейных алгебраических уравнений в виде: $x_{i}-\sum _{k=1}^{\infty }c_{ik}x_{k}=b_{i}$, $i=1,2,...$, $c_{ik}=-a_{ik}+\delta _{ik}$. Бесконечная система линейных алгебраических уравнений называется вполне регулярной, если существует такая положительная постоянная $q<1$, что $\sum _{k=1}^{\infty }\left|c_{ik}\right|\leqslant q$.

Вполне регулярная бесконечная система линейных алгебраических уравнений имеет единственное ограниченное решение $\left\{x_{i}\right\}$ при любой ограниченной совокупности свободных членов $b_{i}$. При этом, если $b_{i}\leqslant B$ для всех $i=1,2,...$, то $\left|x_{i}\right|\leqslant {\frac {B}{1-q}}$.

Бесконечный определитель

В матрице коэффициентов бесконечной линейной системы уравнений можно оставить лишь первые $n$ строк и $n$ столбцов и составить из них квадратную матрицу размером $n\times n$:

$A(n)={\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\a_{n1}&a_{n2}&\cdots &a_{nn}\end{vmatrix}}$

Обозначим определитель этой матрицы как $\Delta (n)=det(A(n))$.

Если существует предел: $\Delta =\lim _{n\to \infty }\Delta (n)$, то он называется бесконечным определителем, соответствующим матрице $a_{ij}$.

Достаточное условие существования

Представим матрицу $a_{ij}$ в новом виде, выделив из её всех диагональных членов слагаемое, равное единице:

$a_{ij}={\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots \\a_{21}&a_{22}&\cdots \\\cdots &\cdots &\cdots \end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}c_{11}+1&c_{12}&\cdots \\c_{21}&c_{22}+1&\cdots \\\cdots &\cdots &\cdots \end{vmatrix}}$

Для того, чтобы бесконечный определитель матрицы $a_{ij}$ существовал и обладал свойствами, аналогичными свойствам обычного определителя, достаточно, чтобы бесконечный двойной ряд $\sum _{i,k=1}^{\infty }|c_{ik}|$ сходился.

Решение бесконечной системы линейных алгебраических уравнений

Если у матрицы $a_{ij}$ бесконечной системы линейных алгебраических уравнений существует и не равен нулю бесконечный определитель и все её свободные члены ограничены по модулю (то есть существует положительное число $M_{1}$, такое, что $|b_{k}|<M_{1},\forall k$), то эта система имеет единственное ограниченное решение (то есть существует положительное число $M_{2}$, такое, что $|x_{k}|<M_{2},\forall k$), определяемое по формулам Крамера:

$x_{k}={\frac {\Delta _{k}}{\Delta }}$,

где $\Delta _{k}$ — определитель, который получается из определителя $\Delta$ заменой элементов k-го столбца свободными членами.

См. также

• Система линейных алгебраических уравнений

Литература

• Вулих Б.З. Введение в функциональный анализ. — М.: Физматлит, 1958. — 352 с. — 7500 экз.
• Смирнов В. И. Курс высшей математики для техников и физиков. Том 3. — М.: Гостехтеориздат, 1933. — 736 с. — 22 000 экз.