Бустрофедонное преобразование

Бустрофедонное преобразование — процедура, которая отображает одну последовательность в другую. Преобразованная последовательность вычисляется путём заполнения треугольного массива в манере бустрофедона (зигзага).

Определение

Бустрофедонное преобразование: Исходная последовательность показана синим цветом. Добавляем числа, как показано стрелками, считываем полученную последовательность с противоположных позиций в строках (последовательность показана красным цветом, $b_{0}=a_{0}$).

Если дана последовательность $(a_{0},a_{1},a_{2},\ldots )$, бустрофедонное преобразование даёт другую последовательность, $(b_{0},b_{1},b_{2},\ldots )$, которая строится путём заполнения треугольника как показано на рисунке справа. Нумерация строк в треугольнике начинается с 0 и строки заполняются последовательно. Пусть k означает номер заполняемой строки.

Если k нечётно, помещаем число $a_{k}$ в правую позицию строки и заполняем строку справа налево, записывая каждое новое значение как сумму чисел справа и справа выше. Если k чётно, записываем число $a_{k}$ в начале строки (слева) и заполняем строку слева направо, записывая каждое новое значение как сумму чисел слева и слева выше.

Если определить $b_{0}=a_{0}$, числа $b_{k}|k>0$, образующие результирующую последовательность, можно найти слева (в начале) нечётных строк и справа (в конце) чётных, то есть в противоположных позициях числам исходной последовательности $a_{k}$.

Рекуррентные отношения

Более формальное определение использует рекуррентную формулу. Определим числа $T_{k,n}$ (with $k\geqslant n\geqslant 0$) следующим образом

$T_{k,0}=a_{k}$ для $k\geqslant 0,$

$T_{k,n}=T_{k,n-1}+T_{k-1,k-n}$ для $k\geqslant n>0.$

Тогда результирующая последовательность определяется как $b_{n}=T_{n,n}$.

В случае a₀ = 1, a_n = 0 (n > 0) получающийся треугольник называется треугольником Зайделя — Энтрингера — Арнольда, а числа $T_{k,n}$ называются числами Энтрингера (последовательность A008281 в OEIS). В этом случае числа результирующей последовательности b_n называются пилообразными (up/down) числами Эйлера. Это последовательность A000111 в «Энциклопедии целочисленных последовательностей». Последовательность содержит число чередующихся перестановок n букв и связана с числами Эйлера и числами Бернулли.

Экспоненциальная производящая функция

Экспоненциальная производящая функция последовательности (a_n) определяется как

$EG(a_{n};x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}{\frac {x^{n}}{n!}}.$

Экспоненциальная производящая функция бустрофедонного преобразования (b_n) связана с производящей функции исходной последовательности (a_n) формулой

$EG(b_{n};x)=(\sec x+\tan x)\,EG(a_{n};x).$

Экспоненциальная производящая функция последовательности единиц равна 1, так что пилообразные (up/down) числа равны sec x + tan x.