Эйлеровы числа

Не следует путать с числами Эйлера I рода.

Не следует путать с числами Эйлера II рода.

Эйлеровы числа (или числа Эйлера) — целые числа $E_{0},E_{1},E_{2},\dots$, использующиеся при разложении гиперболического секанса в степенной ряд

${\frac {1}{\operatorname {ch} (t)}}={\frac {2}{e^{t}+e^{-t}}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {E_{n}\cdot t^{n}}{n!}}$.

Здесь ch(t) обозначает гиперболический косинус.

Так как функция ch(t) чётная, то

$E_{1}=E_{3}=E_{5}=\dots =E_{2n+1}=\dots =0$

Начальные числа Эйлера с чётными индексами (последовательность A028296 в OEIS):

E₀ = 1

E₂ = −1

E₄ = 5

E₆ = −61

E₈ = 1385

E₁₀ = −50521

Эйлеровы числа связаны с числами Бернулли следующими соотношениями:

$E_{n-1}={\frac {(4B-1)^{n}-(4B-3)^{n}}{2n}},$

$E_{2n}={\frac {4^{2n+1}}{2n+1}}(B-0.25)^{2n+1}.$

После раскрытия скобок степень числа B следует заменить на индекс.

Литература

• Эйлеровы числа // Математическая энциклопедия / Гл. ред. И. М. Виноградов. — М.: Советская Энциклопедия, 1984-1985. — Том 5, стр. 937.