Частичный предел последовательности

Частичный предел некоторой последовательности — это предел одной из её подпоследовательностей, если только он существует. Для сходящихся числовых последовательностей частичный предел совпадает с обычным пределом в силу единственности последнего, однако в самом общем случае у произвольной последовательности может быть от нуля до бесконечного числа различных частичных пределов. При этом, если обычный предел характеризует точку, к которой элементы последовательности приближаются с ростом номера, то частичные пределы характеризуют точки, вблизи которых лежит бесконечно много элементов последовательности.

Верхний предел (lim sup) и нижний предел (lim inf) последовательности.

Два важных частных случая частичного предела — верхний и нижний пределы.

Определения

править

Частичным пределом последовательности называется предел какой-либо её подпоследовательности, если существует хотя бы одна подпоследовательность, имеющая предел. В противном случае, говорят, что у последовательности нет частичных пределов. В некоторой литературе в случаях, если из последовательности удаётся выделить бесконечно большую подпоследовательность, все элементы которой одновременно положительны или отрицательны, её частичным пределом называют соответственно   или  .

Нижний предел последовательности — это точная нижняя грань множества частичных пределов последовательности.

Верхний предел последовательности — это точная верхняя грань множества частичных пределов последовательности.

Иногда нижним пределом последовательности называют наименьшую из её предельных точек, а верхним — наибольшую.[1] Эти определения эквивалентны, так как точная грань множества предельных точек обязательно принадлежит этому множеству.

Обозначения

править

Нижний предел последовательности  :

  •   (в отечественной литературе);


  •   (в иностранной литературе).

Верхний предел последовательности  :

  •   (в отечественной литературе);


  •   (в иностранной литературе).

Примеры

править
  •  
  •  
  •  
  •   (в другой терминологии оба предела равны  )

Свойства

править
  • Частичным пределом последовательности может быть только её предельная точка, и, наоборот, любая предельная точка последовательности представляет собой некоторый её частичный предел. Иными словами, понятия «частичный предел последовательности» и «предельная точка последовательности» эквивалентны[a].
  • У любой ограниченной последовательности существуют и верхний, и нижний пределы (в множестве вещественных чисел). Если же считать   и   допустимыми значениями частичного предела, то верхний и нижний пределы существуют вообще у любой числовой последовательности.
  • Числовая последовательность   сходится к   тогда и только тогда, когда  .
  • Для любого наперёд взятого положительного числа   все элементы ограниченной числовой последовательности  , начиная с некоторого номера, зависящего от  , лежат внутри интервала  .
  • Если за пределами интервала   лежит лишь конечное число элементов ограниченной числовой последовательности  , то интервал   содержится в интервале  .
  • Множество частичных пределов замкнуто.

Примечания

править

Комментарии

править
  1. При этом следует помнить, что элемент, встречающийся в последовательности бесконечное число раз, является предельной точкой этой последовательности (в отличие от предельной точки множества).

Источники

править
  1. В. А. Ильин, В. А. Садовничий, Бл. Х. Сендов. Глава 3. Теория пределов // Математический анализ / Под ред. А. Н. Тихонова. — 3-е изд., перераб. и доп. — М.: Проспект, 2006. — Т. 1. — С. 92 — 105. — 672 с. — ISBN 5-482-00445-7. Архивировано 23 июня 2015 года.